线性系统的结构分解和零极点相消.PPTVIP

Ch.4 线性系统的能控性和能观性 目录(1/1) 目 录 概述 4.1 线性连续系统的能控性 4.2 线性连续系统的能观性 4.3 线性定常离散系统的能控性和能观性 4.4 对偶性原理 4.5 线性系统的结构性分解和零极点相消 4.6 能控规范形和能观规范形 4.7 实现问题 4.8 Matlab问题 本章小结 线性系统的结构分解和零极点相消(1/3) 4.5 线性系统的结构分解和零极点相消 一个系统状态不完全能控,意味着系统的部分状态不能控,但也存在部分状态能控。 到底哪一部分状态能控,哪一部分状态不能控的问题,对于控制系统的分析、设计和综合,显然是至关重要的。 由前面的结论已知,系统的非奇异线性变换不改变能控性,那么是否存在线性变换后将系统的状态变量中完全能控的部分和完全不能控的部分分离开来? 对状态不完全能观的系统, 也存在类似的区分哪些状态能观,哪些状态不能观的问题。 线性系统的结构分解和零极点相消(2/3) 也存在能否基于线性变换将系统的完全能观部分和完全不能观部分分离开来? 系统状态空间模型的状态能控性/能观性问题是系统的两个不变的结构性问题,描述了系统的本质特征的问题, 它们与描述系统的输入输出特性的传递函数阵之间有何联系? 本节主要讨论上述关于线性系统状态空间结构性的2个问题,即: 状态空间模型的结构性分解以及 传递函数阵与能控性/能观性的关系。 线性系统的结构分解和零极点相消(3/3) 本节讨论的主要问题: 基本概念: 能控分解、能观分解、能控能观分解、零极点相消 基本方法: 能控分解、能观分解、能控能观分解、零极点相消判据 本节讲授顺序为: 能控性分解 能观性分解 能控能观分解 系统传递函数中的零极点相消定理 能控性分解(1/18)—能控性分解定理 4.5.1 能控性分解 对状态不完全能控的线性定常连续系统,存在如下能控性结构分解定理。 定理4-17 若线性定常连续系统 能控性分解(2/18) 能控性分解(3/18)—能控性分解定理证明 证明 下面的证明是构造性证明,即不仅证明本定理的结论,还构造出能进行能控结构分解的线性变换矩阵。 以下证明过程的证明思路为: 能控性分解(4/18)—能控性分解定理证明 证明过程: 由于系统状态不完全能控,其能控性矩阵 Qc=[B AB … An-1B] 能控性分解(5/18) 其中q1,q2,…,qn为n维行向量。 能控性分解(6/18) 由于Pc-1Pc=I,因此 能控性分解(7/18) 故 能控性分解(8/18) 因此,有 能控性分解(9/18) 能控性分解(10/18) 能控性分解(11/18) 由于线性变换不改变系统的状态能控性,因此线性变换后的能控性矩阵的秩应等于变换前的能控性矩阵的秩。 所以有 能控性分解(12/18) 根据凯莱-哈密顿定理,由上式又可推得 通过对定理4-17的证明,对系统的能控性分解得到一个重要结论,即 对任何一个状态不完全能控的线性定常连续系统, 总可通过线性变换的方法将系统分解成完全能控的子系统和完全不能控的子系统两部, 且变换矩阵Pc的前nc列必须为能控性矩阵Qc的nc个线性无关的列或它的一组基底。 能控性分解(13/18) 能控性分解(14/18) 由于线性变换不改变系统传递函数阵,所以有 能控性分解(15/18) 因此,由上式可归纳出一结论: 状态不完全能控系统的传递函数阵等于其能控性分解后能控子系统的传递函数阵。 由于状态不完全能控系统的传递函数阵等于其能控子系统的传递函数阵,则其极点必少于n个, 即系统存在零极点相消现象。 能控性分解(16/18)—例4-15 故该系统为状态不完全能控且能控部分的维数为2。 能控性分解(17/18) 为分解系统,选择变换矩阵 能控性分解(18/18) 经变换所得的状态空间模型的各矩阵为 能观性分解(1/10)—能观性分解定理 4.5.2 能观性分解 类似于能控性分解,对状态不完全能观的线性定常连续系统,有如下能观性结构分解定理。 定理4-18 若线性定常连续系统 能观性分解(2/10) 则存在非奇异线性变换x=Pox~,使得状态空间模型可变换为 能观性分解(3/10) 定理4-18的证明可以仿照定理4-17的证明给出。 对能观性分解,能将状态不完全能观的线性定常连续系统进行能观性分解的变换矩阵Po的逆阵可选为 能观性分解(4/10) 定理4-18表明: 任何状态不完全能观的线性定常连续系统, 总可通过线性变换将系统分解成完全能观子系统和完全不能观子系统两部, 且变换矩阵Po的逆阵Po-1前no行必须为能观性矩阵Qo的no个线性无关的行或它的一组基底。 对于这种状态的能观性结构分解情况如下图所示。 能观性分解(5/10) 能观性分解(6/10) 能观性分解(7/1