线性系统的稳定性分析ppt.PPTVIP

3-5 线性系统的稳定性分析 1、稳定性的基本概念 运动模态小结(回顾) （1）劳斯表介绍 （2）劳斯判据 4、劳斯表出现零行 * 1、稳定性的基本概念 2、线性系统稳定性的充分必要条件 3、劳斯稳定判据 4、劳斯稳定判据的特殊情况 5、劳斯稳定判据的应用 （1）定义： 平衡状态稳定性：指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。 平衡状态稳定性 运动稳定性 运动稳定性: 若线性控制系统在初始扰动的作用下, 其输出随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零, 则该系统为渐近稳定, 简称稳定; 反之, 称该系统不稳定。 （2）性质：稳定性是去除扰动作用后系统本身的一种恢复能力，是系统的一种固有特性，系统的稳定与否, 仅与系统本身的结构和参数有关, 而与输入信号的形式和大小无关。 j 0 j 0 j 0 j 0 j 0 2、线性系统稳定的充分必要条件 n阶线性系统单位阶跃响应为 则稳定的数学条件为： 系统稳定的充分必要条件为： 所以系统稳定的充要条件是：系统所有特征根的实部小于零，即其特征方程的根都在S左半平面。 设系统特征方程为： s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0 劳 斯 表 s6 s5 s0 s1 s2 s3 s4 1 2 4 6 3 5 7 (6－4)/2=1 1 (10-6)/2=2 2 7 1 0 (6-14)/1= -8 -8 4 1 2 劳斯表特点 4 每两行个数相等 3 次对角线减主对角线 5 分母总是上一行第一个元素 6 第一列出现零元素时，用正无 穷小量ε代替。 7 一行可同乘以或同除以某正数 ε 2 +8 ε 7 ε -8(2 +8)- ε 7 ε 2 7 ε 1 2 4 6 3 5 7 1 2 7 　 -8 ε 1 右移一位降两阶 2 行列式第一列不动第二列右移 3、劳斯判据 系统稳定的必要条件: 有正有负一定不稳定! 缺项一定不稳定! 系统稳定的充分条件: 劳斯表第一列元素不变号! 若变号系统不稳定! 变号的次数为特征根在s右半平面的个数! 特征方程各项系数 全0或全0 -s2-5s-6=0稳定吗？ 有两个正实部根 该系统不稳定 设系统特征方程为： s4+5s3+7s2+5s+6=0 劳 斯 表 s0 s1 s2 s3 s4 5 1 7 5 6 1 1 6 6 0 1 劳斯表何时会出现零行? 2 出现零行怎么办? 3 如何求对称的根? ② 由零行的上一行构成 辅助方程: ① 有大小相等符号相反的 特征根时会出现零行 s2+1=0 对左边求导得零行系数: 2s1 1 1 继续计算劳斯表 1 第一列全大于零,所以系统稳定 错啦!!! 劳斯表出现零行系统一定不稳定 这是零行 2 由综合除法或比较系数法可得另两个根s3,4= -2,-3 解辅助方程得对称的根: s1,2=±j 5、劳斯判据的应用 （1）判别系统的稳定性及其根的分布情况。 （2）确定使系统稳定的参数取值范围（如开环增益K）。 （3）上述劳斯表第一列中数值符号改变的次数等于系统特征方程正实部根的数目。 （4）判别系统的稳定度。(相对稳定性) 稳定度：为了保证系统稳定具有良好的动态特性，希望特征根在S左半平面且与虚轴有一定的距离，常称之为稳定度。 求取方法：用新变量S1=S+a代入系统特征方程，判别以S1为变量的系统的稳定性，相当于判别原系统的稳定度。 例 已知系统的特征方程，试判断该系统 的稳定性。 解： S4+2S3+3S2+4S+5=0 劳斯表如下： 1 3 5 s1 s0 s4 s3 s2 b31 b32 b41 b51 2 4 b31= 2*3 -1*4 2 =1 1 b32= 2*5 -1*0 2 = 5 5 b41= 1*4 -2*5 1 =-6 -6 b51= -6*5 -1*0 -6 = 5 5 有两个正实部根，系统为不稳定。 例 系统如图所示，试确定系统稳定放 大倍数K的取值范围。 K S(0.1S+1)(0.25S+1) _ R(s) C(s) 解： 首先求出系统的闭环传递函数 Ф(s)= S(0.1S+1)(0.25S+1)+K K 特征方程: S3+14S2+40S+40K=0 劳斯表: 1 40 s3 s2 14 40K s1 b31