线性系统的结构分解和零极点相消1.PPTVIP

能观性分解(8/10)—例4-16 例4-16 试求如下系统的能观子系统: 解 由于 故该系统为状态不完全能观且能观部分的维数为2。 列3=列1-2?列2 能观性分解(9/10) 为分解系统,选择变换矩阵 其中前两行取自能观性矩阵Qo,后一行是任意选择的但保证变换矩阵为非奇异的。 于是变换矩阵的逆矩阵为 经变换所得的状态空间模型的各矩阵为 能观性分解(10/10) 则能观子系统的状态方程为 能控能观分解(1/14) 4.5.3 能控能观分解 对状态不完全能控又不完全能观的线性定常连续系统,类似于能控性分解和能观性分解过程构造变换矩阵的方法,可构造系统的 能控 又 能观 子空间、 能控 但 不能观 子空间、 不能控 但 能观 子空间、 不能控 又 不能观 子空间 等4个子空间的基底,组成变换矩阵对系统作线性变换, 将系统分解为4个子系统: 能控能观分解(2/14) 能控 又 能观 子系统、 能控 但 不能观 子系统、 不能控 但 能观 子系统、 不能控 又 不能观 子系统。 在一般情况下(并不是总有效),能控能观分解可以 先对系统作能控分解后, 再分别对能控和不能控子系统 作能观分解, 可得到能控能观分解的4个子系统。 分解过程可如图4-8所示。 能观 分解 能控能观分解(3/14) 即 系统 能控分解 能控子系统 不能控子系统 能观 分解 能控又能观子系统 能控但不能观子系统 不能控但能观子系统 不能控又不能观子系统 因此, 关于系统能控能观结构分解有如下定理。 也可先作能观分解,再作能控分解。 分解结果与先能控分解后能观分解的结果完全等价 图4-8 能控能观分解过程 Pc Pc,o Pnc,o 能控能观分解(4/14)—能控能观分解定理 状态不完全能控又不完全能观,则一定存在一个线性变换,使得变换后的状态空间模型为: 定理4-19 若线性定常连续系统 能控 不能控 能观 能观 不能观 不能观 能控 不能控 能观 能观 能观 能观 不能观 不能观 不能观 不能观 能控 不能控 能控 不能控 能控能观分解(5/14) 即系统可分解成如下4个子系统: 1. 能控但不能观子系统 2. 能控又能观子系统 3. 不能控又不能观子系统 4. 不能控但能观子系统 能控能观分解(6/14) 定理4-22可直接由能控分解定理(定理4-20)和能观分解定理(定理4-21)证明。 一般直接确定能控能观分解的变换阵Pco比较困难,一般情况下,可采取如图4-8所示的通过逐次能控、能观分解过程中的变换阵确定。 因此,能控能观分解的变换阵Pco为 式中, Pc为先进行的能控分解的变换阵； Pc,o和Pnc,o分别为再对能控分解所得的能控与不能控子系统进行的能观分解的变换阵。 能控能观分解(7/14) 类似地,能控能观分解的变换阵Pco也可为 式中, Po为先进行的能观分解的变换阵； Po,c和Pno,c分别为再对能观分解所得的能观子系统和不能观子系统进行的能控分解的变换阵。 能控能观分解(8/14)—例4-17 例4-17 已知系统 是状态不完全能控和不完全能观的,试将该系统按能控性和能观性进行结构分解。 解 (1) 先对系统进行能控分解。 按照能控分解方法,可构造能控分解矩阵为 能控能观分解(9/14) 经变换后,系统按能控性分解为 由上式可见,不能控子空间仅1维且是能观的,故无需再进行分解,为系统分解所得的不能控但能观的子系统。 能控能观分解(10/14) (2) 将如下能控子系统?c按能观性进行分解。 按照能观分解方法,可构造能观分解矩阵及其逆矩阵为 则可将能控子系统?c按能观性分解为 能控能观分解(11/14) (3) 综合以上两次变换结果,系统按能控和能观分解为表达式 式中,状态空间分解为 所示的3个子空间: 能控又能观子系统, 能控但不能观子系统, 不能控但能观子系统； 相应的变换矩阵为 能控能观分解(12/14) 若按顺序 排列分解后各子系统的状态变量,则变换后的状态方程可以变换为如定理所示的状态方程。 由于线性变换不改变系统的传递函数阵,所以由变换后的系统状态空间模型可得如下传递函数阵 能控能观分解(13/14) 能控能观分解(14/14) 因此,由上式可归纳出一结论: 状态不完全能控又不完全能观系统的传递函数阵等于其能控能观分解后能控又能观子系统的传递函数阵。 由于状态不完全能观系统的传递函数阵等于其能观子系统的传递函数阵,则其极点必少于n个, 即系统存在零极点相消现象。