维随机变量函数的概率分布.PPTVIP

§3.4 多维随机变量函数的分布 一、二维随机变量函数的概念 定义： 解题步骤： 二、和Z=X+Y的分布 1.离散型随机变量和的分布 2.连续型随机变量和的分布 同理可得 例2　设随机变量X和Y相互独立，X服从区间(0,1）上的均匀分布，Y服从λ=1的指数分布.令Z=X+Y,试求随机变量Z的密度函数. 例3:　设随机变量X和Y相互独立，X~N(0,1),Y~N(0,1) 结论1： 三、极值分布 推论： 例4 设随机变量X和Y相互独立，X~B(1,p), Y~B(1,p) 例5: 设有5个相互独立工作的电子装置，它们的寿命Xi * * 1） 3） 在实际问题中，常常会遇到需要求随机变量函数的 分布问题。例如：在下列系统中，每个元件的寿命 分别为随机变量 X,Y ，它们相互独立同分布。我们 想知道系统寿命 Z 的分布。 这就是求随机变量函数的分布问题。 2） 随机变量函数的分布 一般情形求随机变量函数分布的方法 和的分布 最值分布 离散型随机变量、 设Z=g(X,Y)是定义在随机变量(X,Y)一切可能取值(x,y) 的集合上的函数，如果对于(X,Y)每一对取值(x,y)，另一个 随机变量Z相应地取值为z=f (x , y),于是确定一个随机变量 Z，称Z为(X,Y)的函数。记为：Z=g(X,Y). 说明： 二维随机变量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)是一维随机变量， 若设(X,Y)的联合概率密度函数为z=f (x, y),则二维随机变量 (X,Y)的函数Z=g(X,Y)是一维连续型随机变量. 随机变量函数的分布 已知二维随机变量(X,Y)的联合密度为f (x, y), g(x , y)是二元连续函数，欲求随机变量 Z=g (X,Y)的 概率密度。 随机变量函数的分布 例 1 随机变量函数的分布 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 令: Z=X+Y, 试求随 机变量Z的分布律. 解 由随机变量X,Y的取值,知Z的可能取值是1,2,3. 随机变量函数的分布 由此得 Z=X+Y的分布律 x + y = z 设(X,Y)是二维连续型随机变量，其联合概率密度 随机变量函数的分布 函数为f (x , y), 令：Z=X+Y.试求随机变量Z的密度函 数fZ(z). 1.计算随机变量Z=X+Y的分布函数FZ(z). （1） （2） 随机变量函数的分布 利用分布函数与密度函数的关系,对FZ(z)求导, 得Z=X+Y的密度函数: 随机变量函数的分布 如果随机变量X,Y相互独立,则有 于是,(1)(2)式可写为: 我们称上式为函数fX(x)与 fY(y) 的卷积.记为: fX(x)* fY(y). 随机变量函数的分布 解 由题意知: 设随机变量Z=X+Y的密度函数fZ(z),则有 随机变量函数的分布 (1) 若z≤0,则fZ(z)=0 不可能事件的概率等于0. (2) 若0z1, (3) 若z≥1, 于是得随机变量X+Y的密度函数为 随机变量函数的分布 令Z=X+Y,试求随机变量Z的密度函数. 解 由题意知: 设随机变量Z=X+Y的密度函数fZ(z),则有 结论2： 随机变量函数的分布 如果随机变量X1, X2,…, Xn相互独立，且 Y~N(μ2, σ22),令Z=X+Y,则Z ~N(μ1 +μ2,σ12 +σ22). Xi~N(μi,σi2) (i=1,2,…,n), 又a1, a2,…, an为n个 实常数,令 如果随机变量与Y相互独立，且X~N(μ1, σ12), 设(X,Y)是二维独立随机变量，其联合分布函数 X与Y相互独立 随机变量函数的分布 为F(x,y),边缘分布函数分别为FX(x)和FY(y). X与Y相互独立 随机变量函数的分布 设X1, X2,…, Xn是相互独立的连续型随机变量， Xi的分布函数是Fi(x),令 试求随机变量M与N的分布函数. 解 设随机变量M与N的分布函数分别为FM(x)和FN(x). X与Y相互独立 随机变量函数的分布 X与Y相互独立 随机变量函数的分布 ξ和η的联合分布律与ξ和η的各自边缘分布律，并 试求随机变量 判断ξ和η是否相互独立. 解 由随机变量X与Y的取值都为0,1 的取值为0,1 随机变量函数的分布 于是ξ和η的联合分布律与ξ和η的各自边缘分布律: 同理 因为0p1,所以: 随机变量ξ和η不独立. (i=1,2,3,4,5)都服从参数为λ的指数分布. 1.若将这5个电子装置并联，组成整机，求此整机的 寿命M的分布。 2.若将这5个电子装置串联，组成整机，求此整机的 寿命N的分布。 随机变量函数的分布 解 Xi服从参数为λ的指数