维随机向量的联合分布.PPTVIP

例2、设(X,Y)的联合概率密度函数为 求 的概率密度。 设 是 的分布函数，记区域： 根据连续型随机变量在平 面上的一个区域内取值得概率等于其联合概率 密度在这个区域上的二重积分。有 x y o G G* u y z （此时的积分区域就是右图的G*） 交换积分次序有 两边对 z 求导得 显然，由对称性也可写成 特别，若X、Y 相互独立，其概率密度分别为 ，所以有卷积公式 例3、设 X、Y 是两个相互独立同服从标准正 态分布的随机变量，求 的概率密度 函数。 解：X、Y 的密度为 由卷积公式得： 由 的密度可见， 更一般的结论，见教材P109 。 定义：X~ ，即X的概率密度函数为 例5、（X，Y）的联合概率密度为求Z=Y-2X的密度。 例6、设X,Y是相互独立的随机变量，X服从均匀分布U(0,2), Y服从均匀分布U(0,1), 求Z=XY的密度函数。 例7、设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度为 求 的密度。 例8、设 X1,X2,…,Xn 相互独立,分布函数分别为 F1(x), F2(x),…,Fn(x) , 求 M = max(X1,X2,…,Xn)， N = min(X1,X2,…,Xn) 的分布。 特别地, 当X1,X2,…,Xn i.i.d.时, 分布函数为F(x), 则 Fmax(z)=(F(z))n , Fmin(z)=1-(1-F(z))n. 离散型随机变量没有密度函数，但是对于上式的分布函数公式仍然成立。 例9、设随机变量 相互独立同服从 均匀分布 ,求 的概率分 布密度函数。 * * （令 ） 其边缘分布律： 由条件分布律的定义得： 3.3.3 连续型随机变量的条件密度 设（X，Y）是二维连续型随机变量，其联合 分布密度为 ，边缘概率密度分别为 、 ，若对固定的 , , 则在条件 Y＝y 下的随机变量 X 的分布函数为： 同理可得： 而： 由上可知： 例2、设二维随机变量（X，Y）在区域 上服从均匀分布，求条件概率密 度 。 解：因为（X，Y）服从均匀分布，且圆面积 为π。所以，联合概率密度为： 边缘密度函数为： 所以，当 时，条件密度函数为： 例3、设（X，Y）的联合密度为 求： 解： 即 从而 所以 定义3.7：设 及 分 别是二维随机变量（X，Y）的联合分布和边 缘分布函数，若对一切的 ，有 则称随机变量 X 和 Y 是相互独立的。 §3.4 随机变量的独立性 例1、一电子仪器由两部分构成，以 X 和Y 分 别表示两部件的寿命（单位：千小时），已知 X 和 Y 的联合分布函数为 （1）问 X 和 Y 是否独立； （2）求两部件的寿命都超过100小时的概率。 由 知，X 与 Y 相互独立。 （2） 解（1） 两个随机变量相互独立的判定定理： 定理3.2：设（X，Y）是二维离散型随机变 量，则： 例1、盒中有2个黑球，3个白球，从中分不放回和有放回两种方式抽取2个球，令X表示第一次取到的白球个数，Y表示第二次取到的白球个数，判断X，Y的独立性。 (1) 有放回抽取时： Y X p·j pi· （2）不放回抽取时： Y X p·j pi· 定理3.3：设（X，Y）是二维连续型随机变 量，则： 例2、设（X，Y）服从二维正态分布 讨论X，Y的独立性。 §3.5 n维随机向量简介 一、 n维联合分布 定义1 设(X1,…, Xn)为n维随机向量，对任意的 n个实数x1, x2,…, xn，称n元函数 为n维随机变量(X1,…, Xn)的联合分布函数。 定义2