自由度系统振动2.PPTVIP

第三章 二自由度系统振动 无阻尼自由振动 要使方程解耦，就是要寻找合适的描述系统振动的广义坐标系，使得系统的阻尼和刚度矩阵在这个广义坐标下为对角矩阵，这等价于寻找一个变换矩阵 [u]，使得刚度和阻尼矩阵都对角化。 无阻尼振动的微分方程 如变换矩阵存在 如果存在变换矩阵[u]，使得{x}=[u]{y}，在{y}下的微分方程： 等价为两个彼此独立的微分方程： 初始条件 如果初始条件 则： 其中： 方程的解 方程的解 其中 总响应 对于一般初始条件 固有频率和振型的求解 考虑方程 将方程的解带入： 令 可得： 由于 和 线性无关， 所以要使上述等式成立，只有 特征方程 根据线性代数理论，要使{u1}，{u2}有非零解的充分必要条件是： 称此式为微分方程 的特征方程或频率方程 振型的求取 将特征根 分别代入，求得对应的特征向量，即振型 振型的性质 振型乘上一个非零常数，仍然满足下式，因此每个振型向量中，至少有一个数需人为给定 一般地，令 固有频率和它所对应的振型完全由质量和刚度矩阵决定，与外界激励无关，是系统固有的特性。 结论 通过以上的求解过程，说明我们当初假定的对角化变换矩阵确实存在，它就是我们的振型矩阵。 方程的解就是 常数的确定 由 和初始条件 解系数的确定 例2 例3.3如图所示弹簧质量系统 坐标和微分方程 以m1，m2水平位移x1，x2为广义坐标，平衡位置为坐标原点，水平向右为两坐标正向，建立坐标系。 系统的动能： 系统的势能： 质量和刚度矩阵 质量矩阵 刚度矩阵： 特征方程 特征方程： 解得： 求第一阶振型 将 代入 取 求第二阶振型 振型矩阵 方程的解 方程解得形式 解的讨论1 ⑴ ； 。把 、 向右移动相同的距离 ，然后同时无初速度的放开 和 受到的力大小、方向均相同，二者的质量又相同，因此它们的速度和位移也相同，在整个振动过程中， 不变形，等效为一无质量的刚性杆等效系统。 运动简图 解的形式 响应为： 解的讨论2 ⑵ (把m1向左、m2向右均移动x0，然后同时无初速度的放开) 这是一个反对称的初始条件，由于系统的对称性，在振动过程中，弹簧k1中点没有运动，就像一个固定点。在这种情况下，系统被等效为k1被分成相等的两半，每个刚度为2k1，这是两个系统彼此独立，并且完全一样的单自由度系统。（初始条件不同）。 运动简图 解的形式 解的讨论3 当 m1和m2初始位移为0，初始速度不为零，相同 解的讨论4 当 m1和m2初始位移为0，初始速度不为零，相反 作业： 3.1 3.7 * * 董明明 振动与噪声控制实验室 (2) 在初始条件 方程的解 说明在特殊初始条件下，两个自由度以同频率做简谐振动，相位差为0或π 在初始条件 方程的解 说明在特殊初始条件下，两个自由度以同频率做简谐振动，相位差为0或π 二自由度无阻尼系统在特殊初始条件下的自由振动是简谐振动，其特点：两个自由度以相同频率振动，相位差为0或π；两个自由度的坐标之比是与系统物理参数有关而与时间无关的常数。 重要定义： 固有振动：多自由度振系在特定初始条件下以单一频率进行 的自由振动 固有频率：固有振动的频率 固有振型：在每种固有振动中，系统各个坐标之间有确定的 比例关系，这种特定的振动形态称为固有振型 振系在任意初始条件下的自由振动是两种固有振动的叠加。 结论 固有频率的求取 将 展开可以得到 的二次代数方程，可以解出 的两个根 由于[M]是正定矩阵，[K]是半正定矩阵，因此 取正平方根 并设 振型的选取对最终的解无影响！！！ 将 代入 取