行列式克莱姆法则.PPTVIP

函数与极限 §11.2行列式 一. 行列式的定义 1. 二阶行列式与三阶行列式 2. n阶行列式 二. 行列式的性质 三. 行列式按行（列）展开定理及其推论 四. 方阵乘积的行列式 五. 克莱姆法则 非齐次与齐次线性方程组的概念 五、克莱姆法则 二、重要定理 说明：利用性质7，可将行列式化为上三角行列式 所有列的元素之和相等 所有列的元素之和相等 三. 行列式按行（列）展开定理及其推论 n阶行列式|A|的元素 的余子式为 ， 令： 叫做 的代数余子式。 按第i 行展开 按第j 列展开 说明：利用此性质，可对行列式进行 降阶运算----称之为降阶法。 选取零元素较多的行（ 列）展开 定理1.3 n阶行列式|A|的值等于它的任一行 （列）的元素与其相应的代数余子 式乘积之和。 即： 例1 证 用数学归纳法 例2 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 n-1阶范德蒙德行列式 推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 证 同理 相同 关于代数余子式的重要性质 例3 计算行列式 解 按第一行展开，得 例４ 计算行列式 解 四. 方阵乘积的行列式 定理两个n阶方阵A与B乘积的行列式等于这两个方阵的行列式的乘积，即|AB|=|A||B| 推论1 设A1， A2，…， Am是m个n阶方阵，则| A1 A2… Am |=| A1|| A2 | … | Am | 定义11.9 如果|A|?0，则称n阶方阵A为非奇异方阵，否则称为奇异方阵。 推论2 设A，B是两个n阶方阵，则AB为奇异方阵的充分必要条件是A，B中至少有一个是奇异方阵。 方阵A的行列式|A|的运算性质： 例4： 小结 (行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立). 计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值． 行列式的6个性质 3. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具. 思考题 求第一行各元素的代数余子式之和 思考题解答 解 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成 * * 用消元法解二元线性方程组 一、二阶行列式的引入 方程组的解为 由方程组的四个系数确定,且为一个数. 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的数表 定义 即 主对角线 次对角线 对角线法则 二阶行列式的计算 若记 对于二元线性方程组 系数行列式 二、三阶行列式 定义 记 （6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式. (1)沙路法 三阶行列式的计算 .列标 行标 (2)对角线法则 注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 2. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负. 例２ 解 按对角线法则，有 例3 解 方程左端 补充定义一阶行列式为： 观察：有什么特点？ 2. 类似地，定义四阶行列式为： 3.由归纳法，从上面可以看出，可以给出任意阶行列式的定义： (1)（余子式的定义）设n-1阶方阵的行列式已经定义，对于n阶方阵 去掉A的第i行和第j 列，其余元素不动所构成的n-1阶方阵的行列式 称为元素 的余子式。 如： 解： (2) n阶行列式|A|的定义： 规定n阶行列式|A|为下式的值： 记为： （也将|A|记为D或Dn）。 也称之为行列式|A|按第一行的展开式。 例2.计算下列行列式 ： 解：按第一行展开有 结论：下三角行列式（或对角行列式）的值，等于它的主对角线上的元素的乘积。 二、行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 行列式 称为行列式 的转置行列式. 记 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 例如 数乘行列式等于数乘行列式的某一行(列）的所有元素。 证明 则D等于下列两个行列式之和： 例如 性质7　把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变． 例如 例１ 二、应用举例 计算行列式常用方法：利用运算　　　把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值． 解 * *