解析函数的罗朗展式.PPTVIP

课程名称：复变函数 2007.09.01 第五章 解析函数的罗朗展式 一、双边幂级数 二、解析函数的罗朗展式 三、解析函数的孤立奇点及其分类 四、解析函数在无穷远点的性质 第一节、解析函数的洛朗展式 1、定义 2、性质 二、定理5.2(Laurent定理) 注： 例1.求函数在下列区域内的罗朗展式 例2. 将 第二节、解析函数的孤立奇点及其分类 2、各类孤立奇点的特征 例1.判别下列函数在指定奇点处的类型 定理5.4 例2. 判断下列函数在指定点处的性质 例2. 判断下列函数在指定点处的性质 本性奇点的特征： 例3. 证明： 第三节、解析函数在无穷远点的性质 (2) 无穷远点的分类与判定方法 例5. 例5.判定无穷远点的类型   (2) 例5.判定无穷远点的类型   (3) * 主讲教师：卢 谦 西南科技大学大学本科理科数学类专业课程 形如 被称为关于 的双边幂级数。 一、双边幂级数 则有 在H内绝对收敛且内闭一致收敛于 在H内逐项求导p次，p=1,2,…… 定理5.1 设双边幂级数 的收敛圆环为 r R p 展开式是唯一的 可展开成双边幂级数（关于 即 其中 若 则 (*) （1）若 在 内能展开成Laurent级数; * （3）若 则展开式必为如下形式： 表示成 （4）展开法------根据展开式唯一，只须将 (*)即为Laurent展开式。 （2）Taylor级数与Laurent级数的关系; （1） （2） 解： （1） 在 内解析 内可展开成罗朗级数，即 在 在 在 （1） 内解析 内可展开成罗朗级数，即 同理可得 其级数形式为 令 则 （2） 在 内解析 在 内可展成罗朗级， 即 (1) 又因 (2) 由（1）、（2）可知 在 处的去心邻展成罗朗级数。 解： 以 和 为奇点 的 的去心邻域为 令 则有 且 对于 有 设a为 的孤立奇点，即 使 在去心 邻域 内可以展开成Laurent级数。 此时， 为 在a的正则部分。 为 在点a处的主要部分。 若 在点a处的主要部分为零， 的可去奇点； 则称 为 若 在点a处的主要部分为 的m级极点； 则称 为 若 在点a处的主要部分有无穷多项， 的本性奇点； 则称 为 1、定义5.3 定理5.3 为 设 的孤立奇点，则 的可去点; 为 在 的主要部分为0; 在点a的去心邻域内有界。 解： 的可去奇点 为 解： 为 的可奇点。 设 以 为孤立奇点，则下列命题等价 以 为m级极点; 在 处的主要部分： 在点a处解析， 为m级零点; 以 解： 仅以 为奇点 在 处解析，且 记 的孤立奇点。 为 为 的一级极点。 解： 以 z = 0, 1 为奇点 为 的孤立奇点。 我们有 对于 为 的二级极点。 在 处解析， 在 处解析， 同理我们有 对于 为 的一级极点。 定理5.5 设 的某邻域内不恒等于零 ，则 在 以 为 m 级极点 以 为 m 级零点 解： 记 则 所以存在 为一级零点 以 处解析，且在 处的函数值不等于 零的函数 使得 为 的二级零点。 在 处解析，且 为 故 为二级极点。 不存在且不为 定理5.7 为 的本性奇点，且在点a的充分小去 的本性奇点 心邻域内不为零，则 也必为 定理5.6 为 的本性奇点 不存在且不为 为 故 的本性奇点。 不存在且不为 的本性奇点 所以由定理5.7可知 为 即 也为 的本性奇点。 均为 与 的本性奇点. 证明: 为 的本性奇点. 分析： 在 关键是讨论是存在 使 内解析。 解： 下列函数是否以 例4. 为孤立点？ 在有限复平面上仅以 为奇点 在 内解析 为 的孤立奇点。 为 的孤立奇点的定义： 内解析，则称 为 的一个孤立奇点。 定义5.4 若函数 在无穷远点（去心）邻域 为奇点 在有限复平面内 以 解： 而 时, 的非孤立奇点 故 为 在 为孤立奇点，则 设 以 内解析，令 则在 函数 为 的孤立奇点。 在 内解析，即 的可去奇 点，m级极点和本性奇点， 则相应地 的可去奇点，m级极点和本 性奇点。 为 为 在 的性质 判定下列函数 解： 令 则 且 的可去奇 点 为 的可去奇点. 为 解: 则 令 则 的二级极点 为 的二级极点。 为