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解线性方程组的迭代法收敛性
迭代法的收敛性 邹昌文 迭代法的矩阵写法 注： * A = -L -U D Jacobi 迭代阵 Gauss-Seidel 迭代阵 迭代法的收敛性 / Convergence of Iterative methods / 的收敛条件 充分条件: ||B|| 1 必要条件: ？ 定义 设： A A k k = ? ? lim 是指 ij k ij k a a = ? ? ) ( lim 对所有 1? i, j ? n 成立。 等价于对 任何算子范数有 定义 定理 对任意非零向量 成立 定理 设 存在唯一解，则从任意 出发， 迭代 收敛 ? 0 ? k B 证明： Bk ? 0 || Bk || ? 0 “?”：对任意非零向量 有 “?”：取 则 第 i 位 对任意非零向量 成立 从任意 出发， 记 ，则 as k ? ? 收敛 那什么条件可保证 Bk 收敛呢？ 定理 Bk ? 0 ? ? ( B ) 1 证明： “?” 若 ? 是 B 的eigenvalue, 则?k 是 Bk 的eigenvalue 。 则 [? (B)]k = [ max | ? | ]k = | ?mk | ? ? ( Bk ) ? || Bk || ? 0 ? ? (B) 1 ? “?” 首先需要一个引理 / Lemma / 对任意 ? 0, 存在算子范数 || · || 使得 || A || ? ? (A) + ? 。 由 ? (B) 1 可知存在算子范数|| · || 使得 || B || 1。 || Bk || ? || B ||k ? 0 as k ? ? Bk ? 0 迭代从任意向量出发收敛 Bk ? 0 ? ( B ) 1 证明：对 A 做 Jordan 分解，有 ，其中 ， ， ?i 为 A 的 eigen value。 令 ，则有 易证： 是由 导出的算子范数。 所以只要取 ? ? ，就有|| A ||? ? (A) + ? 。 定理
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