解线性方程组的消元法.PPTVIP

* 第三章 * 线性方程组是线性代数中最重要最基本的内容之 一，是解决很多实际问题的的有力工具，在科学技术 和经济管理的许多领域（如物理、化学、网络理论、 最优化方法和投入产出模型等）中都有广泛应用. 第一章介绍的克莱姆法则只适用于求解方程个数 与未知量个数相同，且系数行列式非零的线性方程组. 本章研究一般线性方程组，主要讨论线性方程组解的 判定、解法及解的结构等问题，还要讨论与此密切相 关的向量线性相关性等. 其主要知识结构如下： * 线性方程组 * §3.1 消元法 第一章讨论了含n个方程的n元线性方程组的求解 问题.下面我们讨论一般的n元线性方程组(system of linear equations) （3.1） 写成矩阵形式为 其中 * 分别称为方程组（3.1）的系数矩阵(coefficient matrix)、 未知量矩阵和常数项矩阵. 当 时，称 为n元齐次线性方程组； 当 时，称 为n元非齐次线性方程组. 并称 为方程组（3.1）的增广矩阵(augmented matrix). 因为 一个线性方程组由它的系数和常数项完全确定，所以 线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的. 如果 可以使（3.1）中的每个等式都 成立，则称 为线性方程组（3.1）的一个 解(solution). 线性方程组（3.1）的解的全体称为它的解 * 集(solution set). 若两个线性方程组的解集相等，则称 它们同解(same solution). 若线性方程组（3.1）的解存 在，则称它有解或相容的. 否则称它无解或矛盾的. 解 线性方程组实际上先要判断它是否有解，在有解时求 出它的全部解. 消元法是求解线性方程组的一种基本方法，其基 本思想是通过消元变形把方程组化成容易求解的同解 方程组. 在中学代数里我们学过用消元法求解二元或 三元线性方程组，现在把这种方法理论化、规范化、 并与矩阵的初等变换结合起来，使它适用于求解含更 多未知量或方程的线性方程组. 为此，先看一个例子. * 例1 解线性方程组 解 原方程组 显然原方程组与最后的方程组（叫阶梯形方程组） 同解，所以原方程组有唯一解 * 由此不难发现，在求解线性方程组的过程中，可 以对方程组反复施行以下三种变换： 1. 交换两个方程的位置； 2. 用一个非零数乘某个方程的两边； 3. 把一个方程的倍数加到另一个方程上. 称它们为线性方程组的初等变换. 显然：线性方程组的初等变换不改变线性方程组 的同解性. 在例1的求解过程中，我们只对方程组的系数和 常数项进行了运算，对线性方程组施行一次初等变 换，就相当于对它的增广矩阵施行一次相应的初等行 变换，用方程组的初等变换化简线性方程组就相当于 用矩阵的初等行变换化简它的增广矩阵. 下面我们将 例1的求解过程写成矩阵形式： * 所以原方程组有唯一解 即 * 一般地，不妨设线性方程组（3.1）的增广矩阵可通 过适当的初等行变换化为阶梯形矩阵 因而由初等行变换不改变矩阵的秩可知：线性方程 组（3.1）的系数矩阵 与增广矩阵 的秩分别为 * 与 由线性方程组的初等变换不改变线性方程组的 同解性可知：线性方程组（3.1）与阶梯形方程组 （3.2） 同解，且其解有三种情形： 情形1，当 ，即 时，方程组（3.1）无解. 情形2，当 ，即 时， 方程组（3.1）有唯一解 * 情形3，当 ，即 时， 方程组（3.2）可变成 其中 在相应数域上可任意取值， 称为自由未知量，以下我们在实数域R上讨论，任意 给定自由未知量一组值： 代人可求得 的相应值，把这两组数合 并起来就得到方程组（3.1）的一个解，因此方程组 （3.1）有无穷多个解，其一般解为 *