第一章_矢量讲述.ppt

* 圆柱坐标系( r, ? , z ) y z x P0 ? 0 ? =? 0 r = r0 z = z0 O * 圆柱坐标系 * 球坐标系( r, ?, ? ) ? = ? 0 x z y ? 0 ? 0 r = r 0 ? = ? 0 P0 O * 球坐标系 * 微分单元的表示 球坐标系 圆柱坐标系 直角坐标系 * 梯度、散度和旋度 球坐标系 圆柱坐标系 直角坐标系 * 坐标变量的转换 * 矢量分量的转换 * 散度定理 或者写为 从数学角度可以认为散度定理建立了面积分和体积分的关系。 从物理角度可以理解为散度定理建立了区域 V 中的场和包围区域 V 的边界 S 上的场之间的关系。因此，如果已知区域 V 中的场， 根据散度定理即可求出边界 S 上的场，反之亦然。 * 散度定理的证明 证明：将闭面S所包围的区域V 划分成N个体积元，如图所示。取体积元用?Vi表示，相应的闭合表面则为Si。于是有 或写成 除含部分外表面S的那些面元之外，其它处于V内的每一内部面元都是邻体积元的公共面元。图中所示的1、2号体积元的公共面元上，其外法向单位矢量en1和en2是反向的，它使得该公共面元上F的元通量在求和时将互相抵消。当取N→?、 →0时，总通量仅为所有外表面面元上元通量之和，即外表面S上的闭合面通量，可知上式的极限 S V 1 2 (a) (b) 1 2 en2 en1 * 拉普拉斯算子 散度运算规则 * 例 求空间任一点位置矢量 r 的散度。 求得 已知 解 r O x z y x z y * 证明 证： * 求 * 标量场的梯度 矢量场的散度 矢量场的旋度？ 算子 * 矢量场 F 沿一条有向曲线 l 的线积分称为矢量场 F 沿该曲线的环量，以 ? 表示，即 1.6 矢量场的环量、旋度与旋度定理 可见，若在闭合有向曲线 l 上，矢量场 F 的方向处处与线元 dl 的方向保持一致，则环量 ? 0；若处处相反，则 ? 0 。可见，环量可以用来描述矢量场的旋涡特性。 l * * 已知真空中磁通密度 B 沿任一闭合有向曲线 l 的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度 I 与真空磁导率 ?0 的乘积。即 式中，电流 I 的正方向与 dl 的方向构成 右旋 关系。 环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能显示源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。 ⊙ I1 ? I2 * 旋度是一个矢量。以符号 curl A 表示矢量 A 的旋度，其方向是使矢量 A 具有最大环量强度的方向，其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即 式中 curl 是旋度的英文字； 为最大环量强度的方向上的单位矢量，?S 为闭合曲线 l 包围的面积。 矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量。 * 而 推导 的示意图如图所示。 o y Dz Dy C M z x 1 2 3 4 计算 的示意图 直角坐标系中 、 、 的表达式 * 于是 同理可得 故得 * 直角坐标系中，旋度可用矩阵表示为 或者 无论梯度、散度或旋度都是微分运算，它们表示场在某点附近的变化特性。因此，梯度、散度及旋度描述的是场的点特性或称为微分特性。 函数的连续性是可微的必要条件。因此在场量发生不连续处，也就不存在前述的梯度、散度或旋度。 * 旋度与散度的区别 （一）一个矢量场的旋度是一个矢量函数；一个矢量场的散度是一个标量函数。 （二）旋度表示场中各点的场与漩涡源的关系;散度表示场中各点的场与通量源的关系。 （三）旋度描述的是场分量沿着与它相垂直的方向上的变化规律（叉乘，例如:Ax只对其垂直方面的变量求导） ;散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律（点乘）. * 旋度定理（斯托克斯定理） 从数学角度可以认为旋度定理建立了面积分和线积分的关系。 从物理角度可以理解为旋度定理建立了区域 S中的场和包围区域 S 的边界 l 上的场之间的关系。因此，如果已知区域 S 中的场，根据旋度定理即可求出边界 l 上的场，反之亦然。 或者 * 例 试证任何矢量场 F均满足下列等式 式中，S 为包围体积 V 的闭合表面。此式又称为矢量旋度定理，或矢量斯托克斯定理。 S V F * 证明：用高斯散度定理证明。用任意常矢C点乘其两边， 左端： 右端： 可知 基于常矢C的任意性，则： 证毕 * 散度处处为零的矢量场称为无散场，旋度处处为零的矢量场称为无旋场。 1.7 无散场和无旋场 可以证明 结论：任一矢量场