计算机工程应用——非线性方程.PPTVIP

* 第一章 代数方程的计算机方法 方法 公 式 迭代法 x=φ(x) 牛顿法 弦割法 二元有哪些信誉好的足球投注网站法 试位法 * 第一章 代数方程的计算机方法 作业:求 在[0,1.2]区间的根值.要求用以上所讲的方法写出计算机求解公式,并编写计算机程序. * 第一章 代数方程的计算机方法 方法 公 式 迭代法 xn+1=φ(xn)=(xn2+2)/3 牛顿法 Xn+1=xn-(xn2-3xn+2)/(2xn-3) 弦割法 Xn+1=xn-(xn2-3xn+2)(xn-xn-1)/[(xn2-3xn+2)-(xn-12-3xn-1+2)] 二元有哪些信誉好的足球投注网站法 Xmid=(xn+xn+1)/2 试位法 Xn+1=xn-(xn2-3xn+2)(xn+1-xn)/[(xn+12-3xn+1+2) -(xn2-3xn+2)] * 1、迭代法 一般方程f(x)=0 迭代函数 迭代过程中的计算公式 * 2 牛顿法 一般方程f(x)=0 * 3??弦割法 * 4??二元有哪些信誉好的足球投注网站法 首先按x的等距离间隔求出它的函数值f(x),直到相邻的两个函数值f(xn)和f(xn+1)具有相反的符号为止。 即： f(xn)f(xn+1)0 * 5 试位法 * 第一章 代数方程的计算机方法 3x 3x * 第一章 代数方程的计算机方法 k xk k xk 1 3.604138226 9 3.732170148 2 3.662777674 10 3.732592036 3 3.695055862 11 3.732818105 4 3.712603634 12 3.732939234 5 3.722079126 13 3.733004132 6 3.727177123 14 3.733038902 7 3.729914576 15 3.733057531 8 3.731382952 16 3.733067511 * 第一章 代数方程的计算机方法 2 牛顿法 牛顿法也是一种求解代数方程式的数学迭代方法。它的基本思想是：为了把根夹住，先找到两个异号的值在两个异号的值之间选取方程f(x)=0根的一个估计值x0 ，然后将f(x)=0在x0处进行泰勒展开： f(x1)=f(x0)+f’(x0)(x1-x0)+1/2f”(x0)(x1-x0)2+…=0 因为x0是在f(x0)的根值附近，所以，令：h=x1-x0是一个很小值则h2更是一个极小值，所以将泰勒展开式的右边的第三项以后的项都有忽略（作为误差来处理） * 第一章 代数方程的计算机方法 也即： 移项得： 得到 * 第一章 代数方程的计算机方法 y x y=f(x) x* x0 x1 x2 图4牛顿法的几何解释 * 第一章 代数方程的计算机方法 写成通式，从而得到牛顿迭代公式： (13) 这里xn+1是在x=xn 处曲线的切线与x轴的交点。由于曲线f(x)不是直线，f(xn+1)就不可能是真正的零。因此，就必须以xn=xn+1作为新的基点，重复以上步骤，直至f(xn+1)充分小 牛顿法的实质是沿着曲线上的一点切线作外推，而不是在两个函数之间作内插。这可以从图4中看出: ？ 切线与X轴的交点 * 第一章 代数方程的计算机方法 从图4中很明显的看出，起点位置的选择会显著的影响收敛速度。另外，这种方法的缺点是： 1、在迭代过程中，一但曲线的斜率f ’(x)=0，就无法迭代下去了。 2、还可以证明当f’’(x)趋于无穷大时，牛顿法也将失效。 其证明可以直接从函数的泰勒展示式中得到。即： 当f’’(x)趋于无穷大时 f(x1)=f(x0)+f’(x0)(x1-x0)+1/2f”(x0)(x1-x0)2+…=0 就不能简化成为： f(x1)=f(x0)+f’(x0)(x1-x0) =0 * 第一章 代数方程的计算机方法 也就不能有： 存在。 牛顿法的好处在于，不用对原函数f(x)的代数方程进行迭代变换，所用的固定公式简单。所以，用牛顿法进行编程时，编程也简单，这可从图5的流程图中看出： * 第一章 代数方程的计算机方法 选择初值xn=x0 计算Xn+1和f(Xn+1) Xn+1=x0 ? f(xn+1)充分小？ 停止 Y N 图5牛顿法的计算机解法流程