课时次函数与简单的幂函数.PPTVIP

第4课时　二次函数与简单的幂函数 1．幂函数的定义 形如 (α∈R)的函数称为幂函数，其中 为自变量， 为常数． 【思考探究】　1.幂函数与指数函数有何不同？ 提示：　本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置． 2．五种幂函数的性质 3.二次函数的解析式 (1)一般式：f(x)＝ ； (2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h，k)，则其解析式为：f(x)＝ ； (3)双根式：若相应一元二次方程的两根为x1，x2，则其解析式为f(x)＝ ． 4．二次函数的图象和性质 4．拋物线y＝8x2－(m－1)x＋m－7的顶点在x轴上，则m＝________. 幂函数y＝xα的性质和图象，由于α的取值不同而比较复杂，一般可从三方面考查： (1)α的正负：α＞0时图象经过(0,0)点和(1,1)点，在第一象限的部分“上升”；α＜0时图象不过(0,0)点，经过(1,1)点，在第一象限的部分“下降”； (2)曲线在第一象限的凹凸性：α＞1时曲线下凹，0＜α＜1时曲线上凸，α＜0时曲线下凹； (3)函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性． 【特别警示】　无论α取何值，幂函数的图象必经过第一象限，且一定不经过第四象限． 已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈N＋)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求m的值． 解析：　∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3. ∵m∈N＋，∴m＝1,2. 又函数的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数， 而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数， ∴m＝1. 答案：　B 求二次函数解析式的方法：待定系数法．根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或两点式中的一种来求． 利用已知条件求二次函数解析式常用的方法是待定系数法，但可根据具体的条件选用适当形式的解析式． (1)已知三个点的坐标时，宜用一般式； (2)已知拋物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式； (3)若已知拋物线与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用两点式求f(x)更方便． 【变式训练】　2.已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称． 求f(x)与g(x)的解析式． 设函数y＝f(x)图象上的任意一点Q(x0，y0)关于原点的对称点为P(x，y)，则x0＝－x，y0＝－y. ∵点Q(x0，y0)在y＝f(x)的图象上， ∴－y＝x2－2x，∴y＝－x2＋2x，∴g(x)＝－x2＋2x. 二次函数求最值问题，首先采用配方法化为y＝a(x－m)2＋n的形式，得顶点(m，n)和对称轴方程x＝m，结合二次函数的图象求解，常见有三种类型： (1)顶点固定，区间也固定； (2)顶点含参数(即顶点为动点)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外． (3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数． 讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调情况，从而确定函数的最值． 函数f(x)＝x2－2x＋2在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值记为g(t)．试写出g(t)的函数表达式． 解析：　∵f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1， 当t＋1＜1，即t＜0时，函数在[t，t＋1]上为减函数， g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1； 当0≤t＜1时，g(t)＝f(1)＝1； 当t≥1时，函数在[t，t＋1]上为增函数， g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2. 【变式训练】　3.已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，求a的值． 解析：　函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1对称轴方程为x＝a. (1)当a＜0时，f(x)max＝f(0)＝1－a， ∴1－a＝2，∴a＝－1. (2)当0≤a≤1时，f(x)max＝a2－a＋1， ∴a2－a＋1＝2，∴a2－a－1＝0， (3)当a＞1时，f(x)max＝f(1)＝a， ∴a＝2. 综上可知，a＝－1或a＝2. 1．解决与二次函数有关的问题关键是通过配方得出顶点坐标，由此可知函数的图象、对称轴、单调区间、最值和判别式等． 2．关于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a＞0)在闭区间[m，n]上的最值问题，有如下结论： (1)若h∈[m，n]，则ymin＝f(h)，ymax＝max{f(m)，f(n)}． (2)若h?[m，n]，则ymin＝min{f(m