近世代数课件(全)唯分解环.PPTVIP

数学与计算科学学院 近世代数 第四章 整环里的因子分解 §1 唯一分解环 一、几个概念 设K是整环 2.单位：可逆元 3.公因子 4.相伴 例4 6.不可约元 7.唯一分解元 例6 例6 8.素元 二、唯一分解环 整除: 性质: 称b整除a，并称b是a的一个因子，a是b的倍元. 在 中,3|18,而 3|7 中, ,而 在 例1： 在 中, 2+i|5,而 2+i|3+i. 例2： （1）Z中只有两个单位： （2）Z[i]的单位有： 的单位有： 1和-1； 1，-1，i，-i； 1和-1. 性质: （1）一个整环至少有两个单位：1和-1； （2）两个单位的乘积也是单位； （3）单位的逆元也是单位. 公因子： .如果 ,则称d为a与b的一个公因子. (1) d为a与b的公因子； 最高公因子： (2) 如果c为a与b的任一公因子, 则有c|d， 如果d满足： 则称d为a与b的一个最高公因子(或最大公因子). 如果d为a与b的任一最高公因子, 性质： 则任给单位u, du还是a与b的最高公因子. 若存在单位 ，使得 则称b与a相伴， 也称b是a的相伴元 记作 5.平凡因子： 称单位和相伴元为平凡因子； 称除了平凡因子的因子（若有的话）为真因子. 例3 在 中, 其中1与-1为单位, 6和-6与6相伴, 6有因子:1,-1,2,-2,3,-3,6,-6. 2,-2,3,-3为6的真因子. 5的平凡因子： 全部真因子为： 求 中5的因子. 不是单位， 则称为不可约元； 若只有平凡因子， 若有真因子，称为可约元. 例5: Z中全部不可约元：素数及相反数. 性质： 有真因子 都不是单位 （2） （1）不可约元与单位乘积是不可约元； 是 中一个非零、非单位的元素.若 满足:(1) 可分解为 中不可约元的乘积, (2) 的上述分解式在相伴的意义下是 有另一分解式: 则有 ,且适当交换因子的次序, 有 ,则称 在 中能唯一分解. 唯一的, 即如果 (1)9在Z中能唯一分解. (2)9在 中不能唯一 分解. 证明： 的单位只有1和-1； （1） （2） 的元都是不可约元： 则是单位； 则是相伴元. 在Z中无解； 因此 的元都是不可约元. (1)9在Z中能唯一分解. (2)9在 中不能唯一 分解. 证明： 的单位只有1和-1； （1） （2） 的元都是不可约元： （3） 性质：素元一定是不可约元； 例7 在Z中全部素元： 不是单位， 则称 p 为素元. 不可约元未必是素元. 素数及相反数 问题：是否整环中非零、非单位的元素都能 中任一非零非单位的元素都 是唯一分解环. （不一定） 唯一分解？ 定义：如果 能唯一分解,则称 定理1 唯一分解环的不可约元等同于素元. 定理2 若 有以下性质： 都可以分解成不可约元的乘积； 是唯一分解环. （1）每一个非零、 （2）不可约元都是素元, 则 非单位的元素 例8 为唯一分解环. * *