近世代数课件6多项式环.PPTVIP

§6 多项式环 内容提要: 6.1 多项式环 6.2 一元多项式环 6.3 未定元的存在性 6.4 多元多项式环 6.3 未定元的存在性 6.4 多元多项式环 * 我们已经有了一般环的定义,现在要认识一种特殊的环多项式环,这种环在数学里占一个重要的地位。 本节假定 是一个有单位的交换环， 是 的子环，并且包含 的单位元。比如, 为复数环(域), 为整数环. 6.1 多项式环 的多项式 在 里取出一个元 来，那么 有意义，是 的一个元。 定义1 一个可以写成 形式 的元叫做R上 的一个多项式。 叫做多项式的系数。 注1：多项式常用 表示. 注2： 的多项式的表示形式不唯一(举例),因此不 定义次数. 原因在什么地方? 多项式环 记 ={所有R上的 的多项式}. 我们要注意，对于 ， 所以当我们只考虑 的有限个多项式的时候，可以假定这些多项式的项数(注:没有说次数),都是一样的。因此， 的两个元相加相乘适合以下公式： 这两个式子告诉我们， 对于加法和乘法来说都 是闭的。进一步, 所以 是一个(子)环。 定义2 叫做R上 的多项式环. 注3： 是包括R和 的最小子环。 注4：上面的 的计算法正是初等代数里的多项 式的计算法。 6.2 一元多项式环 的多项式的表示形式不唯一的原因在于:当系数 不都等于零的时候，很可能 的多项式 比方说，当 的时候，取， ， 那么多项式` 未定元 定义3 的一个元 叫做R的一个未定元，假如 在R里找不到不都等于零的元 来，使得 在这一节里，我们重要讨论未定元的多项式。 注5：根据上述定义，R 上的一个未定元 的多项式 （简称一元多项式）,只能用一种方法写成 的形式（不计系数是零的项）。 定义4 令 是环R上一个一元多项式。那么非负整数n叫做这个 多项式的次数,表示为 。 注6：多项式0不定义次数。 注7： , 例1 R是整数环， 是复数域, 在 上发现一些R的未定元. 例2 ( 上可能没有R的未定元) R是整数环， 是包含所有 的整环， 这时对 的每一个元 来说，都有 定理 1 给了一个有单位元的交换环R，存在一个 包含R的环P, 使得在P上一定有R上的未定元 存在. 证明(省略) 我们非三步来证明这个定理。 1.首先我们利用R来作一个环 。我们让 刚好包含 所有无穷序列 ，这里 ，但只有有限个 我们限定： 只在 时， 我们规定一个加法： 显然这是一个 的代数运算，而且 对于这个加法来说作成一个加群。这个加群的零元是 。 我们再规定一种乘法： 这里 显然这也是一个 的代数运算，并且这个乘法适合交换律。 这个乘法也适合结合律：叫 那么，照乘法的定义， 把 计算一下，可以得到同样的结果。 这两个代数运算也适合分配律：叫 那么，由加法和乘法的定义， 把 算出来，显 然会得到同样的结果。 这样 作成一个交换环。 在 里我们有等式 （1） 由这个式子我们可以得到 这就是说 有单位元 。 2. 第二步我们利用 来得到一个包含R的环P。 由等式（1），我们可以得到 （2） 由加法的定义，我们有 （3） （2）和（3）告诉我们，全体