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通信原理 通信原理 第3章 随机过程 3.1 基本概念 3.1 随机过程的基本概念 什么是随机过程？ 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。是与确定信号相对的物理过程。 可从两种不同角度看： 角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。是随机的时间函数 【例】信道中未传输信号时，用n台示波器同时观测并记录n台通信接收机的输出噪声波形 样本函数xi (t)：随机过程的一次实现，是确定的时间函数。 随机过程：? (t) ={x1 (t), x2 (t), …, xn (t)} 是全部样本函数的集合。 角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。是 随时间变化的随机变量 这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。 3.1.1随机过程的分布函数(统计特性) 设? (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值? (t1)是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。 随机过程? (t)的一维分布函数： 随机过程? (t)的一维概率密度函数： 若上式中的偏导存在的话。 随机过程? (t) 的二维分布函数： 随机过程? (t)的二维概率密度函数： 若上式中的偏导存在的话。 随机过程? (t) 的n维分布函数： 随机过程? (t) 的n维概率密度函数： 3.1.2 随机过程的数字特征 均值（数学期望）： 在任意给定时刻t1的取值? (t1)是一个随机变量，其均值 式中 p(x1, t1) － ? (t1)的概率密度函数 由于t1是任取的，所以可以把 t1 直接写为t， x1改为x，这样上式就变为 ? (t)的均值是时间的确定函数，常记作a(t) ，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心 : 方差 方差常记为? 2 (t) 。这里也把任意时刻t1直接写成了t 。 因为 所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻 t 对于均值a ( t )的偏离程度。 相关函数 式中， ? (t1)和? (t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变量。可以看出，R(t1, t2)是两个变量t1和t2的确定函数。 协方差函数 式中 a ( t1 ) a ( t2 ) － 在t1和t2时刻得到的? (t)的均值 p2 (x1, x2; t1, t2) － ? (t)的二维概率密度函数。 相关函数和协方差函数之间的关系 若a(t1) 或 a(t2)＝0，则B(t1, t2) = R(t1, t2) 互相关函数 式中?(t)和?(t)分别表示两个随机过程。 因此，R(t1, t2)又称为自相关函数。 3.2 平稳随机过程 3.2 平稳随机过程 3.2.1 平稳随机过程的定义 定义： 若一个随机过程?(t)的任意有限维概率密度与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和所有实数?，有 则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严(狭义)平稳随机过程。 该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变。平移不变性 它的一维概率密度与时间t无关： (1) 而二维概率密度只与时间间隔? = t2 – t1有关： (2) 【证】由平稳定义，令 ，对式(1) 对式(2) 得结果 把满足（1）和（2）的过程定义为宽(广义)平稳随机过程。显然，严平稳随机过程必定是宽平稳的，反之不一定成立。因为宽平稳只考虑了1、2维统计特性。 数字特征： 可见，（1）其均值与t 无关，为常数a ； （2）自相关函数只与时间间隔? 有关，可写为R(? ) 。 常把上述两条作为判断随机过程是否宽平稳的依据。 在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。 3.2.2 各态历经性 问题的提出：对所有或大量样本函数的统计，是件很困难的事，能否从一次试验而得到的一个样本函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢? 回答是肯定的。平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性” 。 “各态历经” （又称“遍历”）的含义是：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。具有各态历经性的过程，其数字特征（统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。 下面，我们来讨论各态历经性的条件。 各态历经性条件 设：x(t)是平稳过程?(t)的任意一次实现（样本）， 则其时间均值和时间相关函数分别定义为： 如果平稳过程使下式成立 则称该平稳过程具有各态历经性。 因此，在求解各种统