随机rv函数的分布.PPTVIP

4. 关于正态分布的应用问题 解 第二章 随机变量及其分布 第五节 随机变量函数的分布 在实际问题中, 人们常常对随机变量函数的概率问题更感兴趣. 例如, 已知圆轴截面直径 d 的分布, 求截面面积A= 的分布, 这里A是随机变量d的函数. 一般地, 设随机变量X的分布已知, 随机变量Y=g(X) (设g是连续函数), 如何“由X的分布求出Y的分布”, 这个问题无论在实际问题中还是在理论上都是很重要的. 当 X取值1,2,5时, Y对应取值5,7,13, 而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件, 两者具有相同的概率. (一) 离散型随机变量函数的分布 例1 设随机变量X的分布律为 求随机变量Y= 2X +3的概率分布. 解 所以, 随机变量Y的概率分布为 X 1 2 5 pk 0.2 0.5 0.3 已知随机变量X的分布律为 0.3 0.5 0.2 pk 5 2 1 X 则函数随机变量Y= 2X +3的概率分布 0.3 0.5 0.2 pk 13 7 5 Y 一般地, 若Y =g(X)是离散型随机变量X的概率函数, X服从的分布律为 … pk … p2 p1 pk … xk … x2 x1 X 则随机变量X的函数Y=g(X)服从分布律 … pk … p2 p1 pk … g(xk) … g(x2) g(x1) Y 如果g(x)为非严格单调函数, 则g(xk)中有一些可能是相同的, 把它们对应的概率作适当并项即可. 例2 若随机变量X服从分布律 0.2 0.5 0.3 pk 1 0 -1 X 则Y=X2的概率分布为 0.5 0.5 pk 1 0 Y 这是因为 P{Y=0}=P{X2=0}=P{X=0}=0.5, P{Y=1}=P{X=-1}∪{X=1} = P{X=-1}+P {X=1} =0.3+0.2=0.5. 讲评 例1中的函数Y= 2X +3为单调函数, 而例2中的函数Y=X2不是单调函数. 要注意处理Y取值的不同情形. (二) 连续型随机变量函数的概率分布 例3 设随机变量X具有概率密度 求随机变量Y=2X+8 的概率密度. 解 分别设X,Y的分布函数为FX(x),FY(y), 则 于是Y 的概率密度为 FY(y)=P{ Y y } = P (2X+8 y ) =P{ X } = FX( ) 注意到 0x4时, fX(x)≠0, 即0 4, 也就是8 y 16时, 所以 例4 设随机变量X具有概率密度 fX(x) , -∞x +∞, 求随机变量Y = X 2的概率密 度fY (y). 解 设X和Y的分布函数分别为FX (x) 和FY (y). 注意到 Y = X 2≥0, 所以, 当y 0时, FY (y)=P{Y≤y}=P{X2≤y}=0. 当y ≥ 0时, 有 FY (y)=P{Y≤y} = P{X 2≤y} 对y求导, 可得随机变量Y的概率密度 特别地, 已知X~N(0,1), 其概率密度为 则Y = X 2的概率密度为 此时称Y服从自由度为1的χ2分布, 常记 为Y~χ2(1). 即：若X~N(0,1), 则Y=X2~χ2(1). 例3中函数Y=2X+8为单调函数, 而例4中函数Y=X2不是单调函数, 要注意概率 P{g(X)≤y}的分解形式. 讲评 通过例3和例4, 我们可以总结出在连续型随机变量X的分布函数或概率密度已知的情况下求Y= g(X)的概率密度的一般方法(分布函数法): 设X有概率密度fX (x), 随机变量Y= g(X), 则 (1) 先确定Y的值域R(Y). (2) 对任意y∈R(Y), 求出Y的分布函数 FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{X∈G(y)} = 这里, G(y)由不等式g(X)≤y解出. (3) 对FY(y)求导, 可得Y的概率密度函数 fY(Y) ,y∈R(Y). (4) 对fY(y)加以总结, 当y R(Y)时, 取fY(y)=0. 其中， 此定理的证明与前面的解题思路类似. x=h(y)是