非线性方程(组)的数值解法.PPTVIP

* 第二章 非线性方程的数值解法 /* Numerical Solutions of Nonlinear Equations*/ 本章主要内容： 1、二分法 2、不动点迭代的构造及其收敛性判定（重点） 3、Steffensen迭代 4、Newton迭代（重点） 5、割线法 历史背景 代数方程的求根问题是一个古老的数学问题。理论上， 次代数方程在复数域内一定有 个根(考虑重数)。早在16世纪就找到了三次、四次方程的求根公式，但直到19世纪才证明大于等于5次的一般代数方程式不能用代数公式求解，而对于超越方程就复杂的多，如果有解，其解可能是一个或几个，也可能是无穷多个。一般也不存在根的解析表达式。因此需要研究数值方法求得满足一定精度要求的根的近似解。 求方程 几何意义 a b x* 三个基本问题 存在性？ 如果有根,有几个? 如何求根？ 如果函数 在 上连续，且 则至少有一个数 使得 ，若同时 的一阶导数 在 内存在且保持定号，即 (或 )则这样的 在 内唯一。 基本定理 例1 求方程 有根 区间 解： 0 1 2 3 4 5 6 - - + + - - + 有根区间 [1, 2]，[3, 4]，[5, 6]。 §1 二分法 /* Bisection Method */ 原理：若 f ?C[a, b]，且 f (a) · f (b) 0，则 f 在 (a, b) 上至少有一实根。 基本思想：逐步将区间分半，通过判别区间端点函数值的符号，进一步有哪些信誉好的足球投注网站有根区间，将有根区间缩小到充分小，从而求 出满足给定精度的根 的近似值。 以此类推 终止法则？ a b x1 x2 a b When to stop? 或 不能保证 x 的精度 x* ?2 x x* 3、 由二分法的过程可知： 4、对分次数的计算公式： 1、 2、 令 误差 分析 解： 例2：用二分法求方程 在区间 上的根，要求保留三位有效数字。 ①简单; ② 对f (x) 要求不高(只要连续即可) . ①无法求复根及偶重根 ②收敛慢 注：用二分法求根，最好先给出 f (x) 草图以确定根的大概位置。或用有哪些信誉好的足球投注网站程序，将[a, b]分为若干小区间，对每一个满足 f (ak)·f (bk) 0 的区间调用二分法程序，可找出区间内多个根，且不必要求 f (a)·f (b) 0 。 优点 缺点 §2 迭代法的理论 /* Theory of Iteration Method*/ f (x) = 0 x = g (x)（迭代函数） 等价变换 思路 从一个初值 x0 出发，计算 x1 = g(x0), x2 = g(x1), …, xk+1 = g(xk), … 若 收敛，即存在 x* 使得 ，且 g 连续，则由 可知 x* = g(x* )，即x* 是 g 的不动点，也就是f 的根。 看起来很简单，令人有点不相信，那么问题是什么呢？ 如何判定这种方法是收敛的呢？ f (x) 的根 g (x) 的不动点 一、不动点迭代 /*Fixed-Point Iteration*/ x y y = x x y y = x x y y = x x y y = x x* x* x* x* y=g(x) y=g(x) y=g(x) y=g(x) x0 p0 x1 p1 ? x0 p0 x1 p1 ? x0 p0 x1 p1 ? x0 p0 x1 p1 ? 几何意义 例3： 已知方程 在 上有一个根（正根） 可以选取5种迭代格式： 1、 即 2、 即 3、 即 4、 即 5、 即 取 计算结果如下： 法1 法4 法3 法2 法5 三个基本问题 如何构造合适的 ？满足什么条件 收敛？ 的收敛速度，误差估计。 怎样加速 收敛？ Lipschitz条件成立的充分条件 考虑方程 x = g(x), 若 ( I ) 当 x?[a, b] 时， g(x)?[a, b]； ( II ) ? 0 ? L 1 使得 对 ? x?[a