高中全程复习方略配套课件：曲线与方程(含轨迹问题.PPTVIP

【规范解答】(1)因为圆C:x2+y2+6x-91=0的方程可化为：(x+3)2+y2=100，所以圆心坐标为C(-3,0)，半径为10；设动圆 圆心M的坐标为M(x,y)，半径为r，因为圆C与动圆M内切，所 以|CM|=10-r，又因为动圆过点P，所以|PM|=r，因此|CM|+ |PM|=10＞6=|CP|，所以动圆圆心M的轨迹为椭圆，其中长轴 长为10，焦距等于6，所以椭圆方程为： 即所求轨 迹方程. 答案： (2)设动圆圆心P的坐标为P(x,y)，半径为r， 因为动圆P与圆C1外切，所以|C1P|=r+3， 又动圆P与圆C2外切，所以|C2P|=r+1， 因此|C1P|-|C2P|=2，由双曲线的定义可知其轨迹为双曲线的一支(右支). 由圆C1:(x+5)2+y2=9和圆C2:(x-5)2+y2=1可知：C1(-5,0)、C2(5,0)，所以双曲线的实轴长为2，焦距为10，所以所求轨迹方程为 答案： 【互动探究】在本例(2)中： ①若动圆P与圆C2内切，与圆C1外切，则动圆圆心P的轨迹是什么？ ②若动圆P与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心P的轨迹是什么？ ③若把圆C1的半径改为1，则动圆圆心P的轨迹是什么？ 【解析】①因为动圆P与圆C1外切，所以|C1P|=r+3，又动圆P与圆C2内切，所以|C2P|=r-1； 因此|C1P|-|C2P|=4，由双曲线的定义可知其轨迹为双曲线的右支. ②因为动圆P与圆C2外切，所以|C2P|=r+1，又动圆P与圆C1内切，所以|C1P|=r-3， 因此|C1P|-|C2P|=-4，由双曲线的定义可知其轨迹为双曲线的左支. ③因为动圆P与圆C1外切，所以|C1P|=r+1，又动圆P与圆C2外切，所以|C2P|=r+1， 因此|C1P|=|C2P|，所以点P在C1C2的垂直平分线上，即所求轨迹为两定圆圆心连线的垂直平分线. 【反思·感悟】1.本例两个题目都是求轨迹方程，它们的共同特点是利用题设条件，找到符合某种曲线的定义，即得出点的轨迹，进而求出轨迹方程； 2.利用定义求轨迹或轨迹方程时，一定要注意曲线定义的内涵及外延，有一点不符合定义就有可能得出另外的结论. 【变式备选】已知A(- ,0)，B是圆F：(x- )2+y2=4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，求动点P的轨迹方程. 【解析】如图，连接PA. 依题意可知|PA|=|PB|， ∴|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=|BF|=2, ∴P点轨迹为以A(- ,0),F( ,0)为焦点，长半轴长为1的椭圆. 其方程可设为 又∵c= ,a=1, ∴b2=a2-c2= . 故P点的轨迹方程为 相关点(代入)法求轨迹方程 【方法点睛】相关点(代入)法 动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x′,y′)的运动而有规律地运动，而且动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x′、y′表示成x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，整理化简即得动点P的轨迹方程. 【提醒】用代入法求轨迹方程是将x′、y′表示成x、y的式子，同时注意x′、y′的限制条件. 【例3】设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且 当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程. 【解题指南】设点N，M，P的坐标分别为N(x,y)，M(x′,0)，P(0,y′),可由已知条件得出x′、y′与x、y之间的关系，同时得到x′、y′满足的方程，用代入法即可求出轨迹方程. 【规范解答】设M(x′,0),P(0,y′)，N(x,y), 由 得(x-x′,y)=2(-x′,y′), 所以 解得 又因为 =(x′,-y′)， =(1,-y′), 所以(x′,-y′)·(1,-y′)=0,即x′+y′2=0, 所以-x+( )2=0，即y2=4x. 因此所求的轨迹方程为y2=4x. 【反思·感悟】1.解答本题的关键是从已知条件中发现x′、y′之间的关系式及x′、y′与x、y之间的关系； 2.用代入法求轨迹方程，关键是发现相关点的轨迹方程，同时要注意验证应该删除的点或遗漏的点，以防增解或漏解. 【变式训练】设线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑 动，且|AB|=5， 则点M的轨迹方程为( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】选A.设M(x,y)，A(x0,0),B(0,y0), 由 则 解得 由|AB|=5，得( x)2+( y)2=25, 化简得