高中数学___平面向量基本定理、正交分解及坐标表示_课件_新人教A版必修.PPTVIP

* * * * * 第二章 平面向量 第三节 平面向量的基本定理及坐标表示 第一课时 平面向量的基本定理 　　思考：给定平面内任意两个向量e1，e2，请你作出向量3e1＋2e2、e1－2e2． 平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示呢？ 设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，我们通过作图研究a与e1、e2之间的关系． e1 e2 a C a A e1 e1 e2 a O N M B e2 N M 即a=λ1e1+λ2e2． 　　由图可知， OC=OM+ON=λ1OA+λ2OB 平面向量基本定理 　　如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使 a=λ1e1+λ2e2． 　　我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底（base）． 　　不共线向量有不同方向，它们的位置关系可以用夹角来表示．关于向量的夹角，规定： O a b B A θ 　　当θ=0°时，a与b同向；当θ=180°时，a与b反向．如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b ． 　　已知两个非零向量a和b．如图，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角． 　　向量的夹角： 　　例1　已知向量e1、e2，求作向量-2.5e1+3e2. e1 e2 3e2 -2.5e1 O A B C 2.作平行四边形AOBC． 作法:1.如图，任取一点O，作OA=-2.5e1，OB=3e2． OC就是求作的向量． M O C N a （1）一组平面向量的基底有多少对？ （有无数对） 思考 E F A N B M a O C M E N M O C N a E F 　　（2）若基底选取不同，则表示同一向量的实数λ1、λ2是否相同？ （可以不同，也可以相同） A B OC=OF+OE OC=2OA+OE OC=2OB+ON N E 特别的，若a=0，则有且只有： λ1=λ2=0 可使 0=λ1e1+λ2e2． 　　若λ1与λ2中只有一个为零，情况会是怎样？ 　　特别的，若a与e1（e2）共线，则有λ2=0（λ1=0），使得：a=λ1e1+λ2e2． 第二章 平面向量 第三节 平面向量的基本定理及坐标表示 第二课时 平面向量的正交分解及坐标表示 　　 　　如图，光滑斜面上一个木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F1的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F2．也就是说，重力G的效果等价于F1和F2的合力的效果，即G=F1+F2．G=F1+F2叫做把重力G分解． 　　类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2，使a=λ1a1+λ2a2． 　　在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．如图，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解． 　　如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得 a=xi+yj． ① O x y i j a 向量的坐标表示 a=（x，y）， ② 　　其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示． 　　显然，i=（1，0）， j=（0，1）， 0=（0，0）． 　　这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作 O x y i j a 　　如图，在直角坐标平面中，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由向量a唯一确定． O x y i j a a x y 　　设OA=xi+yj，则向量OA的坐标（x，y）就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标（x，y）也就是向量OA的坐标．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示． d a x i O y j 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -3 -4 -5 A A1 A2 c b 　　解：由图可知， 同理， 　　例2　如图，分别用基底i、j表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标． a=AA1+AA2=2i+3j， ∴ a=（2，3）． b=-2i+3j=（-2，3）； c=-2i-3j=（-2，-3）； d=2i-3j=（2，-3）． 　　练习　 　　请大家在图中确一组基底，将其它向量用这组基底表示出来． A N M C D B 　　已知梯形ABCD，AB//CD，且AB= 2DC，M、N分别