高中数学空间向量的正交分解及其坐标表示.PPTVIP

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课前探究学习 课堂讲练互动 理解空间向量基本定理,并能用基本定理解决一些几何问题. 理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. 掌握空间向量的坐标表示,能在适当的坐标系中写出向量的坐标. 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 【课标要求】 【核心扫描】 空间向量基本定理.(重点) 用基底表示已知向量.(难点) 在不同坐标系中向量坐标的相对性.(易错点) 1. 2. 3. 1. 2. 3. 空间向量基本定理 定理:如果三个向量a、b、c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组(x,y,z),使得p=___________,其中{a,b,c}叫做空间的一个_____,a,b,c都叫做_______. 试一试:空间的基底是唯一的吗? 提示 由空间向量基本定理可知,任意三个不共面向量都可以组成空间的一个基底,所以空间的基底有无数个,因此不唯一. 自学导引 1. xa+yb+zc 基底 基向量 空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底:三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1,e2,e3称为单位正交基底. (2)空间直角坐标系:以e1,e2,e3的公共起点O为原点,分别以e1,e2,e3的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz. 2. xe1+ye2+ze3 x,y,z p=(x,y,z) 试一试:你能写出空间直角坐标系,坐标轴或坐标平面上的向量的坐标吗? 基底的选择 为了简便,在具体问题中选择基底时要注意两个方面:一是所选的基向量能方便地表示其他向量;二是各基向量的模及其夹角已知或易求. 选定基底后,各基向量的系数组成的有序实数组就是向量在该基底下的坐标.同一基底下的向量运算可以简化为坐标进行.一般情况下,选的基底是单位正交基底. 空间向量的正交分解及其坐标表示的理解 (1)建立空间直角坐标系O-xyz.分别沿x轴、y轴、z轴的正方向引单位向量i,j,k,则{i,j,k}叫做单位正交基底.单位向量i,j,k都叫做坐标向量. 名师点睛 1. 2. (2)在空间直角坐标系中,已知任一向量a,根据空间向量分解定理,存在唯一实数组(a1,a2,a3)使a=a1i+a2j+a3k,a1i,a2j,a3k分别为向量a在i,j,k方向上的分向量,有序实数组(a1,a2,a3)叫做向量a在此直角坐标系中的坐标,可记作a=(a1,a2,a3). (3)空间任一点P的坐标的确定,如图所示,过点P作面xOy的垂线,垂足为P′,在面xOy中,过P′分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为A,C,则|x|=P′C,|y|=AP′,|z|=PP′. 空间中一点P(a,b,c)关于xOy面、xOz面、yOz面、x轴、y轴、z轴及坐标原点对称的点的坐标分别为P1(a,b,-c),P2(a,-b,c),P3(-a,b,c),P4(a,-b,-c),P5(-a,b,-c),P6(-a,-b,c),P7(-a,-b,-c). 题型一 基底的判断 若{a,b,c}是空间的一个基底,判断{a+b,b+c,c+a}能否作为该空间的一个基底. [思路探索] 可先用反证法判断a+b,b+c,c+a是否共面,若不共面,则可作为一个基底,否则不能作为一个基底. 【例1】 解 假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ,μ使得 a+b=λ(b+c)+μ(c+a), ∴a+b=λb+μa+(λ+μ)c. ∵{a,b,c}为基底, ∴a,b,c不共面, 规律方法 判断三个向量a,b,c能否作为基底,关键是理解基底的概念,只有空间中三个不共面的向量才能构成空间向量的一个基底.判断a,b,c三个向量是否共面,常用反证法,即判断三个向量是否满足a=λb+μb,若满足则共面,若不满足则不共面. 以下四个命题中正确的是________. ①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示; ②若{a,b,c}为空间的一个基底,则a,b,c全不是零向量; ③如果向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底,则一定有a与b共线; ④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底. 解析 因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示,故①不正确;②正确;由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底,故③正确;空间向量基底是由三个不共面的向量组成的,故④不正确. 答案 ②③ 【变式1】 题型二  用基底表示向量 【例2】 规律方法 (1)空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表示,只要基底选定,这一向量用基底表达的形式是唯一的; (2)用基底来表示空间中的向量是向量解决数学问题的关键,解题时注意三角形法则或平行四边形法则的应用. 【变式2】 题型三 求空间向量的坐标 【例3】 【题后反思】 根据空

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