高中数学：函数的极值与最值.PPTVIP

* 第五节 函数的极值与最值 一、函数的极值 1.定义 如果存在 的一个去心邻域, 对于该去心邻域 内的任一点 都有 成立, 则称 是函数 的极大值, 称 为函数 的极大值点. (极小值) (极小值点) 的极小值点: 的极大值点: 2.极值点的必要条件 定理1 若 在 处取得极值, 且 在 处可导, 则 证 不妨设 是极大值. 按定义, 存在去心邻域 使得 对于任意 都有 即： 对于任意 都有 又 由费马引理得: 定义 若 , 则称 是函数 的驻点. 注: 由定理1得: 若 是函数 的极值点, 则 或 不存在. 反之不然. 反例: 但 不是 的极值点. 但 不是 的极值点. 3.极值的判别法 定理2(第一判别法) 设 在 的一个去心邻域 内可导, 且在 处连续. (1) 若当 由小到大经过 时, 的符号由正变负 则 是极大值. (2) 若当 由小到大经过 时, 的符号由负变正 则 是极小值. (3) 若当 由小到大经过 时, 的符号不改变 则 不是极值. ( ) + - 是极大值 ( ) - + 是极小值 ( ) + + 不是极值 ( ) - - 不是极值 例1 求 的极值. 解 (1)定义域: (2) 令 解得 时, 不存在 (3)讨论单调性 - 不 存 在 + 0 - 不 存 在 - 极小值 极大值 非极 值 (4) 极小值: 极大值: 说明 如果由 的表达式不易确定它在驻点 附近的符号, 那么, 用极值的第一判别法就不好求 极值了. 但是,这时若函数 在驻点处的 二阶导数存在且不为零, 则可用下面的定理来求极值. 定理3(第二判别法) 设 在 处二阶可导, 且 则 (1)当 时, 是极大值 (2)当 时, 是极小值 证 (1) 按定义 由函数极限的局部保号性得: 就有 . 于是, 从而 从而 (第一判别法) (2) 类似可证. 例2 求函数 的极值. 解 是周期函数， 只需考虑 在区间 上的情况. 令 解得 极大值 极小值 二、 函数的最大值和最小值 在实际中，经常遇到这样的问题： 怎样使产品的用料最省？成本最低？生产时间最短？ 怎样使生产的效益最高？利润最大？ 这类问题称为“最优化问题” 在数学上， 这类问题可归结为： 求某个函数的最大值或最小值的问题 （简称最值问题） 这里，我们只研究一些较简单的最值问题。 1. 设函数 是闭区间 上的连续函数, 且在 内只有有限个导数为0或不存在的点. 求 在闭区间 上的最值. 求法: (1) 记为: (2) (3) 例3 求函数 在 上的最大值和最小值。 解 记 令 解得 计算 2. 设函数 在区间 内可导 且只有一个驻点 又 是 的极值点， 则 当 是极大值时， 就是区间 上的最大值。 当 是极小值时， 就是区间 上的最小值。 （ ） （ ） 3. 在实际问题中,往往根据问题的性质就可以断定 可导函数 确有最大值(或最小值), 而且一定在 定义区间内部取到. 这时, 如果 在定义区间 内部只有一个驻点 , 那么,可以断定 就是 最大值(或最小值). (不必讨论 是否为极值) 例4 设有一块边长为 的正方形铁皮, 从其各角 截去同样的小正方形, 作成一个无盖的方盒, 问: 截去多少才能使得作成的盒子容积最大? * * *