高数D_微分方程(p).PPTVIP

第七章 一、知识点与考点 分离变量: 原方程变为: 分析： 例2. 例4. 例5. 例6. 将初始条件 例7. * 二、典型例题分析与解答 机动 目录 上页 下页 返回 结束 微分方程 (16) 一、知识点与考点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.基本概念 恒等式, 含有未知函数导数或微分的方程. 若函数y = ? (x)代入方程后可使之成为 (3) 方程的解: (1) 微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程. 其一般形式为: 标准形式为: (2) 方程的阶: 方程中未知函数导数的最高阶数. 则称函数y = ? (x)为方程的解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 特解: n阶微分方程的含有n个独立的任意常数的解 称为方程的通解. 通解: 初始条件: 微分方程不含任意常数的解称为方程的特解. 确定通解中任意常数的条件 一阶方程的初始条件为: 二阶方程的初始条件为: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 一阶微分方程及其解法: 分离变量: 两边积分: (2) 齐次方程: 则 y = x u , (1) 可分离变量的方程: 令 原方程变为: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两边积分: (3) 一阶线性微分方程: ①常数变易法: 对应的齐次方程为: 分离变量: 两边积分: 令 是非齐次方程 的解, 两边积分得: 代入非齐次方程得: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 原方程的通解为: 将 ②公式法: 将方程化为标准形: 把P(x) , Q(x)代入公式: 直接积分即可求得原方程的通解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 这是以 p 为未知函数 x 为自 设其通解为 原方程的通解为: 即 3. 可降阶的高阶微分方程 可用逐次积分法求解. (1) (2) 为降阶作变量代换, 原方程变为 则 令 (方程右端不显含未知函数y) 变量的一阶方程. 若可解, (方程右端仅含自变量x) (3) (方程右端不显含自变量x) 为降阶作变量代换, 令 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 这是以 p为未知函数 y 为 自变量的一阶方程. 设其通解为 若可解, 即 原方程的通解为: 二、典型例题分析与解答 例1. 已知函数 y = y (x)在任意点x处的增量为 且当?x?0 时, 则 y (1) 等于( ) . y(0) =π , ? 是 ?x的高阶无穷小, D 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解此方程可得y(x), 从而可得 y(1)的值. 两边积分: 由微分定义知 解: 由于 分离变量: 且当?x?0 时, ? 是 ?x的高阶 无穷小, 由微分定义知 即有: 由 y (0) =π 知 C =π. 函数的表达式为 故选项(D)正确. 微分方程 的通解为_________. 注释: 本题考查可分离变量方程的解法. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 所给方程为可分离变量的方程. 分离变量: 两边积分: 应填: 例3. 解: 求微分方程 满足初始条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的特解. 所给微分方程变形为: 将 这是齐次微分方程. 令 则 方程变为 即为 分离变量: 两边积分: 可得: 代入得 将 代入得C = – 1. 特解为 注释: 本题考查齐次方程的解法. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 微分方程 满足 的特解为____________. 所给方程为一阶线性方程, 方程两边 但不是标准形. 其中 则有 将 代入通解得: C = 0 . 同除以x得: 特解为: 注释: 本题考查一阶线性非齐次方程的解法. 微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的通解为________. 为降阶令 解: 所给方程是一个不显含未知函数 y 的二阶方程. 注释: 本题考查二阶可降阶方程的解法. 则 代入原方程得: 分离变量: 两边积分: 即有 两边再积分得: 的特解. 解: 则 原方程变为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求微分方程 满足初始条件 所给方程是一个不显含未知函数 y 的二阶方程. 为降阶令 即为 也即为 (这一步是关键!) 则有: 其中 代公式: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注释: 本题考查二阶可降阶方程的解法. 代入得 则有 两边积分得: 将初始条件 代入得 即有 也即有 满足初始条件的特解为 (想一想为何开方只取正?