高导数与函数的极值.PPTVIP

思考 若函数在某个区间上没有极值点 则该函数在该区间上的图像情况如何？ 函数f(x)在区间（a,b)上有极值等价于方程 在该区间上 有根且非等根 [冲关锦囊] 1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可 使问题直观且有条理，减少失分的可能． 2．如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个， 这些区间之间一般不能用并集符号“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开． 解题样板（三）导数应用问题的规范解答 [高手点拨] 在解答本题时，易误点是：一是求导后不会因式分解；二是由增函数得出3ax2＋3ax－10；三是对a的值不加讨论；四是当a0时，不会求a的范围． 在解答解答题时，要注意以下几点： (1)审题的规范性：明确条件，分析条件与目标的联系，确定解题思路． (2)语言叙述的规范性：要注意解题的步骤清楚，正确完整，不要漏掉必要的说明及出现跳步严重的现象． (3)答案的规范性：解完题目要准确写出答案，特别对分类讨论问题一定要将答案整合 点击此图进入 返回 第二 章 函数、导数及其应用 第十二节 导数的应用(一) 抓 基 础 明 考 向 提 能 力 教 你 一 招 我 来 演 练 二、函数的极值与导数 1．函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． f′(x)＜0 f′(x)＞0 2．函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． f′(x)＞0 f′(x)＜0 解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，f′(－3)＝0， ∴a＝5. 答案：D 1．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值， 则a等于 (　　) A．2　　　　　　　　　　 B．3 C．4 D．5 3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)， 导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图 所示，则函数f(x)在开区间(a，b) 内有极小值点 (　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式 上述图像为f(x)的图像 则该函数的极值情况如何？ 解析：若f′(x)0，则f(x)单调递增；若f′(x)0，则f(x)单调递减． 极小值点应有先减后增的特点，即f′(x)0→f′(x)＝0→f′(x)0.由图象可知只有1个极小值点． 答案： A 1．f′(x)0与f(x)为增函数的关系：f′(x)0能推出f(x)为增 函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单 调递增，但f′(x)≥0，所以f′(x)0是f(x)为增函数的充分 不必要条件． 2．可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0 的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如函数 y＝x3在x＝0处有y′|x＝0＝0，但x＝0不是极值点． 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点． 3 求函数极值的步骤 1已知函数f(x)＝x2＋3x－2ln x，求函 数f(x)的极值 (2)若f(x)为R上的单调函数， 则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0， 由此并结合a0，知0a≤1. 例3 已知a∈R，讨论函数f(x)＝ex(x2＋ax＋a＋1)的极值点的个数． 即此时f(x)有两个极值点． (2)当Δ＝0即a＝0或a＝4时，方程x2＋(a＋2)x＋(2a＋1)＝0有两个相同的实根x1＝x2. 由题易知f(x)无极值． (3)当Δ0即0a4时，同理可得f(x)此时无极值． 答案：D 解：(1)f′(x)＝－3x2