高数同济可降阶的高阶微分方程.PPTVIP

微分方程 第五节 可降阶的高阶微分方程 二、不显含未知函数 y 的二阶微分方程 三、不显含自变量 x 的二阶微分方程 四、小结 四、恰当导数方程 * 伯努利家族（17～18世纪）Bernoulli family17～18世纪瑞士巴塞尔数学和自然科学家的大家族。祖孙三代，出过十多位数学家。又译贝努利家族。原籍比利时安特卫普，1583年遭受天主教迫害，迁往德国法兰克福，最后定居在巴塞尔。最重要的是雅各布第一·伯努利、约翰第一·伯努利和丹尼尔第一·伯努利。雅各布第一·伯努利（Jacob Ber-noulli） 1654年12月27日生于瑞士巴塞尔，1705年8月16日卒于同地。1676 年到荷兰、英国等处，结识当地学者。从 1687 年起直到去世，任巴塞尔大学教授。他和弟弟约翰第一·伯努利是G.W.莱布尼茨的朋友，他们迅速掌握了莱布尼茨的微积分并加以发展。雅各布在《学艺》上发表一系列的论文，1694年他首次给出直角坐标和极坐标下的曲率半径公式，这也是系统地使用极坐标的开始。雅各布的巨著《猜度术》的出版，是组合数学及概率论史的一件大事，书中给出的伯努利数有很多应用。还有伯努利定理，这是大数定律的最早形式。约翰第一·伯努利（Johann Ber-noulli） 1667年8月6 日生于瑞士巴塞尔 ，1748 年1月1日卒于同地 。最初学医，同时研习数学 。1691年到巴黎，曾为C.-F.-A.de 洛必达的私人教师。求不定式极限的洛必达法则，实出自约翰。1705年接替其兄雅各布任巴塞尔大学教授。1691年解出悬链线问题。1696年，他向全欧洲数学家挑战，提出最速降曲线问题，后来引起变分法的产生。他曾引入伯努利数，对数论有贡献。丹尼尔第一·伯努利（Daniel Berno-ulli）??1700年2月8日生于荷兰格罗宁根，1782年3月17日卒于瑞士巴塞尔。丹尼尔25岁就成为彼得堡科学院数学教授，他最早的论著是解决黎卡提方程（1724）。他在概率论、偏微分方程、物理等方面均有贡献。曾获法国科学院奖金10次之多。他的《流体动力学》1738年出版，这是作为流体动力学基础的伯努利定理的出处（见伯努利方程）。1733年他回到巴塞尔，教授解剖学、植物学和自然哲学。注：约翰第一·伯努利的学生有柯莱姆，洛必达，丹尼尔.伯努利等，而欧拉曾经是丹尼尔.伯努利的助手。 一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程 四、小结 一、 型的微分方程 例1： 解： 两边积分可得： 再积分一次得： 解法 这种方程的通解可经过积分 次而求得。 求特解时,一般应在每次积分后确定一个常数. 形式为 的微分方程。 解法： 此时，该二阶微分方程变为一阶微分方程，求出 一阶微分方程的通解后再两边积分即可。 例2 解： 两边积分得到 两边再积分得 于是所求方程的特解为： P318-3 解法： 这时方程变为一阶微分方程： 解 代入原方程得 原方程通解为 例3 P320-5 解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解. 作业:P323: 1-5)(7)(9), 2-(1)(3)(5), 3. 练 习 题 练习题答案 解 1 将方程写成 积分后得通解 注意: 这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程. 例 4 ? 解 2 从而通解为 例 4 解 3 原方程变为 两边积分,得 原方程通解为 例 4 * 伯努利家族（17～18世纪）Bernoulli family17～18世纪瑞士巴塞尔数学和自然科学家的大家族。祖孙三代，出过十多位数学家。又译贝努利家族。原籍比利时安特卫普，1583年遭受天主教迫害，迁往德国法兰克福，最后定居在巴塞尔。最重要的是雅各布第一·伯努利、约翰第一·伯努利和丹尼尔第一·伯努利。雅各布第一·伯努利（Jacob Ber-noulli） 1654年12月27日生于瑞士巴塞尔，1705年8月16日卒于同地。1676 年到荷兰、英国等处，结识当地学者。从 1687 年起直到去世，任巴塞尔大学教授。他和弟弟约翰第一·伯努利是G.W.莱布尼茨的朋友，他们迅速掌握了莱布尼茨的微积分并加以发展。雅各布在《学艺》上发表一系列的论文，1694年他首次给出直角坐标和极坐标下的曲率半径公式，这也是系统地使用极坐标的开始。雅各布的巨著《猜度术》的出版，是组合数学及概率论史的一件大事，书中给出的伯努利数有很多应用。还有伯努利定理，这是大数定律的最早形式。约翰第一·伯努利（Johann Ber-noulli） 1667年8月6 日生于瑞士巴塞尔 ，1748 年1月1日卒于同地 。最初学医，同时研习数学 。169