高数学(平面向量的基本定理及坐标表示).PPTVIP

* 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 问题提出 1. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？ （1）|λa|=|λ||a|； （2）λ0时，λa与a方向相同； λ0时，λa与a方向相反； λ=0时，λa=0. 3.平面向量共线定理是什么？ 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？ G F1 F2 非零向量a与向量b共线 存在唯一实数λ，使b＝λa. 5.在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算.力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论. 探究（一）：平面向量基本定理 思考1：给定平面内任意两个向量e1，e2，如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？ e1 e2 2e2 B C O 3e1 A e1 D 3e1＋2e2 e1-2e2 思考2：如图，设OA，OB，OC为三条共点射线，P为OC上一点，能否在OA、OB上分别找一点M、N，使四边形OMPN为平行四边形？ M N O A B C P 思考3：在下列两图中，向量 不共线，能否在直线OA、OB上分别找一点M、N，使 ？ O A B C M N O A B C M N 思考4：在上图中，设 =e1， =e2， =a，则向量 分别与e1，e2的关系如何？从而向量a与e1，e2的关系如何？ O A B C M N O A B C M N 思考5：若上述向量e1，e2，a都为定向量，且e1，e2不共线，则实数λ1，λ2是否存在？是否唯一？ O A B C M N O A B C M N 思考6：若向量a与e1或e2共线，a还能用λ1e1＋λ2e2表示吗？ e1 a a=λ1e1+0e2 e2 a a=0e1+λ2e2 思考7：根据上述分析，平面内任一向量a都可以由这个平面内两个不共线的向量e1，e2表示出来，从而可形成一个定理.你能完整地描述这个定理的内容吗？ 若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 思考8：上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a的表示式是否相同？ 若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 探究(二):平面向量的正交分解及坐标表示 [0°，180°] 思考1：不共线的向量有不同的方向，对于两个非零向量a和b，作 a， b，如图.为了反映这两个向量的位置关系，称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量的夹角的取值范围应如何约定为宜？ b a a b A B O 思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b. 互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？ b a 思考3：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？ B a i O j A P 思考4：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得 a＝xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴 上的坐标，上式叫做向量 的坐标表示.那么x、y的 几何意义如何？ a i x y O j x y 思考5：相等向量的坐标必然相等，作向量 a，则 (x，y)，此时点A是坐标是什么？ A a i x y O j A(x,y) 理论迁移 例1 如图，已知向量e1、e2，求作向量－2.5e1＋3e2. e1 e2 C O A －2.5e1 B 3e2 例2 如图，写出向量a，b，c，d的坐标. 2 4 5 2 a b c d －4 －2 －5 －2 x y O a=(2,3) b=(-2,3) c=(-2,-3) d=(2,-3) 例3 如图，在平行四边形ABCD中， =a， =b，E、M分别是AD、DC的中点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为基底分别表示向量 和 . A B E