高数学定积分.PPTVIP

一、定积分问题举例 二、定积分的定义 存在定理 定积分的几何意义 三、定积分的性质 一、变速直线运动中位置函数与速度函数的 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿—莱布尼茨公式    二、体积 三、平面曲线弧长的概念 1、参数方程 极坐标方程 证 （1）设 定积分的分部积分公式 推导 二、定积分的分部积分法 例7 计算 解 令 则 例8 计算 解 例9 证明定积分公式 为正偶数 为大于1的正奇数 证 设 积分 关于下标的递推公式 直到下标减到0或1为止 于是 定积分的应用 第一节 定积分的元素法 第二节 定积分在几何学上的应用 第三节 定积分在物理学上的应用 回顾 曲边梯形求面积的问题 a b x y o 定积分的元素法 面积表示为定积分的步骤如下: （ n . （3）求和，得A的近似值 1 ）把区间 ] , [ b a 分成 个长度为 的小区间，相 应的曲边梯形被分为 n 个小窄曲边梯形，第 个小窄 曲边梯形的面积为 y 提示 （4） 求极限，得A的精确值 a b x o dA 面积元素 元素法的一般步骤： 这个方法通常叫做元素法． 应用方向： 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等． 定积分在几何学上的应用 一、平面图形的面积 二、体积 三、平面曲线的弧长 一、平面图形的面积 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 1 、直角坐标系情形 解 两曲线的交点 选 为积分变量 面积元素 两曲线的交点 解 选 为积分变量 如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积 解 椭圆的参数方程 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． x x+dx 面积元素 曲边扇形的面积 2、极坐标系情形 解 于是所求面积为 解 利用对称性知 2a 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台 1 、旋转体的体积 解 证 由闭区间上连续函数的介值定理知 性质7（定积分中值定理） 积分中值公式 使 即 积分中值公式的几何解释： 解 由积分中值定理知有 使 微积分基本公式 三、牛顿—莱布尼茨公式 、变速直线运动中位置函数与速度 函数的联系 二、积分上限函数及其导数 变速直线运动中路程为 另一方面这段路程可表示为 考察定积分 记 积分上限函数 积分上限函数的性质 证 由积分中值定理得 补充 证 定理2（原函数存在定理） 定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. 定理 3（微积分基本公式） 证 令 令 微积分基本公式表明： 注意 求定积分问题转化为求原函数的问题. 例1 求 例2 设 , 求 . 原式 解 解 例3 求 解 由图形可知 例4 求 解 解 面积 证 证 令 例8 求 解 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则. 定积分的换元法和分部积分法 一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法 定理 一、定积分的换元法 应用换元公式时应注意: （2） （1） 例1 计算 令 解 例2 计算 解 例3 计算 解 原式 例4 计算 解 令 原式 证 * 定积分 江苏省扬中高级中学 卞国文 定积分 三、定积分的性质 一、定积分问题举例 二、定积分的定义 a b x y o 1 曲边梯形的面积 所围成 和 a b x y o a b x y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形） 曲边梯形如图 曲边梯形面积的近似值为 曲边梯形面积为 2 变速直线运动的路程 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值． （1）分割 部分路程值 某时刻的速度 （2）求和 （3）取极限 路程的精确值 定义 记为 被积函数 被积表达式 积分变量 积分上限 积分下限 积分和 注： 定理1 定理2 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的