高数学函数的增减性_陈建文.PPTVIP

我市某水库8月1日0时的水位距警戒线4.5米。据气象部门预报8月1日后我市区域仍将持续降雨，水库水位将以每天0.5米的速度上涨，若全市抗洪紧急动员后，全体抗洪人员到位还需1天。 问：最迟到几号如果下雨仍不止，全市将发布紧急动员令？ 解答：如果下雨仍不止，8月10日0时水库水位将达到警戒线。最迟8月9日0时，全市将发布紧急动员令。 分析：可应用函数 y=0.5x，当x增大时、y随之增大。 故 x= 9（天）时，y= 4.5（米） 实例分析 函数的单调性 X -2 -1 0 1 2 y 4 1 0 1 4 X -2 -1 0 1 2 y -8 -1 0 1 8 X -2 -1 0 1 2 y -0.5 -1 1 0.5 图像特征： a b O x y y = f (x) x2 x1 f(x1) f(x2) 增函数 y = f (x) x2 x1 f(x1) f(x2) 减函数 O x y a b 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量值x1和x2， 　当x1 x2 时，都有f (x1) f (x2) , 则 y = f (x) 叫做增函数， 　当x1 x2 时，都有f (x1) f (x2) , 则 y = f (x) 叫做减函数。  例1：如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一个单调区间上， y=f(x)是增函数还是减函数。 单调增区间是 [-2,1), [3, 5] 。 答：函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1), [1,3), [3,5], 其中 单调减区间是 [-5, -2), [1,3) ， 注意！用逗号间隔开 例2：证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。 f(x1)-f(x2)=(3 x1 +2)-(3 x2+2) 由x1x2 ，得 x1- x2 0 即 f(x1)f(x2) 证明： 设x1,x2是R上的任意两个实数，且 x1x2， = 3( x1- x2) 于是 f(x1)-f(x2)0 所以，函数f(x)=3x+2在R上是增函数。 取值 定号 变形 作差 判断 例3：判断函数f(x)=1/x在(-∞,0)上的单调性。 例3：判断函数f(x)=1/x在(-∞,0)上的单调性。 f(x1)-f(x2)=1/x1 – 1/ x2 由x1x2 0，得 x2 - x1 0 而x1 x2 0 即 f(x1)f(x2) 证明： 设x1,x2是(-∞,0)上的任意两个实数， 且 x1x2， =(x2 - x1 )/ x1 x2 于是 f(x1)-f(x2)0 所以，函数f(x)= 1/x在(-∞,0)上是单调减函数。 取值 定号 变形 作差 判断 想一想？ 例3：证明函数f(x)=1/x在(-∞,0)上是减函数。 想一想：在课本59页例3已证明函数f(x)=1/x在(0，+∞)上也是减函数。 在整个定义域内 f(x)=1/x是不是减函数呢？ 反例：取x1= - 1 , x2=1，则f(-1)=-1,f(1)=1 可见 x1 x2 时; f(x1) f(x2)不一定成立。 课堂小结 2. 单调性的证明步骤。 1. 函数单调性定义、图象特征、范围。 设定义域为I。在I内某个区间上的任意两个自变量x1、x2的值，当x1x2时，都有f(x1)f(x2) ，那么就说f(x)在这个区间上是增函数。 如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量x1、x2的值，当x1x2时，都有f(x1)f(x2) ，那么就说f(x)在这个区间上是减函数。 取值 定号 变形 作差 判断 课外作业 课本60页练习4 2. 求y=-x2-6x+10的单调增区间、单调减区间。 3. 研究函数 f ( x ) = x +1/x 在其定义域内的单调性 3.可利用函数的图象直接判断函数的增减性。 4.用特殊的反例可否定函数的增减性