高数学选修全册课件、末.PPTVIP

1．归纳推理和类比推理都是合情推理，归纳推理是由特殊到一般，由部分到整体的推理；后者是由特殊到特殊的推理．二者都能由已知推测未知，都能用于猜测，得出新规律，但推理的结论有待于去证明它的正确性． 2．演绎推理与合情推理不同，演绎推理是由一般到特殊的推理，是数学证明中的基本推理形式，只要前提正确，推理形式正确，得到的结论就正确． 3．合情推理与演绎推理既有联系，又有区别，它们相辅相成，前者是后者的前提，后者证明前者的可靠性． [例1]　设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N＋，计算f(1)，f(2)，f(3)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想是否正确． [解析]　f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47， f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61， f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83， f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113， f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151. 由于43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都为质数．于是猜想当n取任何非负整数时f(n)＝n2＋n＋41的值为质数． 因为当n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝41×41，所以f(40)为合数，因此，上面由归纳推理得到的猜想不正确． [例2]　如图①所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想． [解析]　如图②所示，在四面体P－ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小，我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ. [例3]　求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大． [例4]　已知a、b0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc. [证明]　因为b2＋c2≥2bc，a0， 所以a(b2＋c2)≥2abc. 又因为c2＋a2≥2ac，b0， 所以b(c2＋a2)≥2abc. 因为a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc. 人教 A 版数学 第二章 推理与证明 章末归纳总结 * * 人教 A 版数学 第二章 推理与证明