高数学选修、抛物线及其标准方程.PPTVIP

2．3　抛 物 线 1．知识与技能 知道抛物线的定义，能推导抛物线的标准方程． 2．过程与方法 能根据条件，求出抛物线的标准方程． 3．情感态度与价值观 与椭圆、双曲线的标准方程比较，加深理解． 本节重点：抛物线的定义及标准方程． 本节难点：建立标准方程时坐标系的选取． 1．对抛物线的认识 (1)抛物线不是双曲线的一支，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线接近于与其对称轴平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，双曲线接近于与它的渐近线平行． 注意：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象一定是抛物线．但是，抛物线对应的方程不一定是二次函数，如x＝y2是抛物线，但不是函数． 2．对抛物线定义的理解应注意定点不在定直线上，否则动点的轨迹是一条直线． 3．由抛物线的定义推导出它的标准方程时，要考虑怎样选择坐标系．由定义可知直线KF是曲线的对称轴，所以把KF作为x轴可以使方程不出现y的一次项．因为抛物线KF的中点适合条件，所以它在抛物线上，因而以KF的中点为原点，就不会出现常数项，这样建立坐标系，得出的方程形式比较简单． 1．利用抛物线的定义可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，这一相互转化关系会给解题带来方便．要注意灵活运用定义解题． 2．求抛物线标准方程的方法 主要是待定系数法，其步骤为： (1)依据条件设出抛物线标准方程的类型(当焦点位置不确定时，应分类讨论)； (2)求参数p； (3)简明写出答案． 注意：当焦点的位置不确定时，为避免讨论带来的麻烦，可设抛物线方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0)，若m0，抛物线开口向右或向上；若m0，抛物线开口向左或向下． 1． 叫做抛物线．点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 ，焦点到准线的距离(定长p)叫做抛物线的 ． 3．过抛物线焦点的直线与抛物线相交，被抛物线所截得的线段，称为抛物线的 ． 4．通过抛物线的焦点作垂直于坐标轴而交抛物线于A、B两点的线段，称为抛物线的通径，通径|AB|的长等于 . [例1]　求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点(－3,2)； (2)焦点在直线x－2y－4＝0上； (3)过抛物线y2＝2mx的焦点F作x轴的垂线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝6. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值． [点评]　解法二利用抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，既快捷又方便，要善于转化. [例2]　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线焦点． (1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值． 此时，由抛物线定义知： |P1Q|＝|P1F|. 那么|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q| ＝|BQ|＝3＋1＝4. 即最小值为4. [点评]　本题中的两个问题有一个共性，都是利用抛物线的定义，即抛物线的点到准线的距离等于该点到焦点的距离，从而构造出“两点间线段最短”或“点到直线垂线段最短”使问题获解． [答案]　C [解析]　如下图． [点评]　方法一分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，同学们容易忽略斜率不存在的情形，应引起重视；方法二对直线方程的设法避免了直线的斜率不存在这一情况，解答更为简洁，在学习过程中应深刻体会． 斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长． [解析]　如图，由抛物线的标准方程可知，焦点F(1,0)，准线方程x＝－1. 由题设，直线AB的方程为：y＝x－1. 代入抛物线方程y2＝4x，整理得：x2－6x＋1＝0. 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可知，|AF|等于点A到准线x＝－1的距离|AA′|， 即|AF|＝|AA′|＝x1＋1，同理|BF|＝x2＋1， ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8. [例4]　如图(1)所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m，P距抛物线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计多少米？(精确到1m) [解析]　 图(2) 如图(2)所示，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p0)． [点评]　根据图形的对称性，求出抛物线的方程．可得出水池的直径．值得注意的是，上面所求半径为|O′B|＝|O′A|＋|AB|. [例5]　设抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，求抛物线的方程． [点拨]　错因只考虑到了m0的情况，而m0时也可以满足