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目录 上页 下页 第七节 初等函数的连续性与 连续函数的性质 一、连续函数的运算性质 二、初等函数的连续性 三、闭区间上连续函数的性质 第一章 函数与极限 一、连续函数的运算性质 １．四则运算性质 定理1 若函数f(x),g(x)在点x0皆连续，那么函数 在点x0也是连续的． 利用连续函数的定义及函数极限的四则运算性质很容易得到 例1 由于函数y=sinx，y=cosx在 整个实数范围内都是连续的，因此三角函数 在其定义域内都是连续的． 所有的三角函数在其定义域内都是连续的. 2．反函数的连续性 定理2 若函数y=f(x)在区间Ix上单调增加 且连续, 那么它的反函数x=f-1(y)在区间Iy上单调增加 且连续，其中Iy ={y|y=f(x), x∈Ix}. 由此我们有下面的 (或单调减少) (或单调减少) 例2 由于函数y=sinx在 内单调增加且连续，由定理2，它的反函数y=arcsinx在闭区间[-1,1]上也是单调增加且连续的． 以此类推,所有的反三角函数在其定义域内都是连续的. 由于对任意的x0， ，即指数函数 在定义域内是连续的，同时，它也是单调的． 因此，由定理2，它的反函数 在 内也是连续的且单调的． 所有的指数函数和对数函数在其定义域内都是连续的. 3．复合函数的连续性 定理3 (1)设函数y=f[g(x)]是由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成, 且在x0的某邻域U(x0)内有定义． (2) 函数u=g(x)在点x0连续, (3) 函数y=f(u)在点u0连续， 其中g(x0)=u0. 则复合函数y=f[g(x)]在点x0 也连续.即有 例3 证函数y=sin(x+1),y=cos[(x-2)2]在实数范围内都是连续的． 证明 函数y=sin(x+1)是由y=sinu和u=x+1复合而成的． 函数y=cos[(x-2)2]是由y=cosu和u=v2及v=x-2复合而成的． 由复合函数的连续性，它们都是连续的. 定理3的简单表述 对复合函数f[g(x)]，若g在x0点连续，f在点u0=g(x0)连续，则有 f连续 g连续 该如何利用前面的结论来说明幂函数的连续性？ 例4 幂函数y=xμ在(0,+∞)是连续的． y=xμ=e μlnx由指数函数y=eu及对数函数u= μlnx复合而成. 证明 而y=eu及u=μlnx都是连续的, 由定理3,幂函数y=xμ在区间(0,+∞)内连续． 讨论 求极限 能利用定理3吗？ 该函数由lnu和 复合而成，lnu是连续的，但 在x=0处是不连续的，因而不能直接使用定理3．下面的定理4是定理3的推广. 定理4 设有复合函数y=f[g(x)]，函数g(x)在x0点的某去心邻域内有定义，且 ，而函数f在点y0连续．则有 定理4的简单表述 您看出来定理3与定理4的区别了吗? 观察两定理的简述中的式子,您看它们有什么特点?您有何考虑? 它们的区别在于对内层函数的要求不同,定理3中要求内层函数连续,而定理4中仅要求内层函数极限存在. 从两个式子可以看出若函数连续,则极限号可以移到函数符号里面. 当“外”函数连续时，有 f连续 于是 g不一定连续 f连续 g连续 解 分析 函数 是如何复合的,它们都连续吗? 例5 求 显然该函数是由两个连续函数 与 复合而成的， 这里用的是哪个定理？为什么？ 因此 注 把定理4中的 换为 ，而其他不变，结论仍成立， 例6 求 并求 分析 第一个式子分母中的x应如何处理? 第二题与第一题之间有何联系？ 解 对 令ax-1=t， 则x=loga(1+t),并且x→0时t→0 ,于是 这里用的是哪个定理？为什么？ 解 分析 该式可通过适当的变形将其和第二个重要极限联系起来. 例7 求 是由 复合而得． 因此 这里用的是哪个定理？为什么？ 一般地，对形如 的函数 （通常称为幂指函数），如果 那么 其中 都是自变量的同一变化过程中的极限．