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高等代数课件(北大版)九欧式空间§
数学与计算科学学院 * §9.5 子空间 * §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §1 定义与基本性质 §6 对称矩阵的标准形 §8酉空间介绍 §7 向量到子空间的 距离─最小二乘法 小结与习题 第九章 欧氏空间 §5 子空间 一、正交子空间 §9.5 子空间 二、子空间的正交补 一、欧氏空间中的正交子空间 1．定义： 1) 与 是欧氏空间V中的两个子空间，如果对 则称子空间 与 为正交的，记作 则称向量 与子空间 正交，记作 恒有 2) 对给定向量 如果对 恒有 注： ① 当且仅当 中每个向量都与 正交． ② ③ 当 且 时，必有 证明：设子空间 两两正交， 2．两两正交的子空间的和必是直和． 要证明 中零向量分解式唯一． 只须证： 设 由内积的正定性，可知 二、子空间的正交补 1．定义： 如果欧氏空间V的子空间 满足 并且 则称 为 的正交补. 2． 维欧氏空间V的每个子空间 都有唯一正交补. 证明：当 时，V就是 的唯一正交补． 当 时， 也是有限维欧氏空间. 取 的一组正交基 由定理1，它可扩充成V的一组正交基 记子空间 显然, 又对 即 为 的正交补.
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