高等代数课件§元多项式.PPTVIP

§1.2 一元多项式 一、一元多项式的定义 注意： 区别(零多项式与零次多项式） 2．多项式的相等 3. 多项式的运算 1) 加法 2) 减法—加法的逆运算 3) 乘法 4．多项式运算性质 二、多项式环 例1 (1) 证明 (2)在C上不成立 * * １．定义：设x是一个符号(或称文字), n是一个非负整数，形式表达式 an xn+ an?1 xn?1+…+ a1 x+a0 其中a0, a1,…, an?1, an ?P,称为系数在数域P上的一元多项式，或简称为数域P上的一元多项式,常用f (x), g (x), h (x)等表示． 在多项式f (x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0中， 1) aixi称为i次项，ai称为i次项系数; 2)若an?0，则称an xn为的首项，an为首项系数，n称为多项式的次数，记作?(f(x))=n . 3)若a0=a1=…=an=0，即f(x)=0，则称之为零多项式．零多项式不定义次数 零多项式：f (x)=0， 零次多项式：f (x) = a，a?P, a ? 0 若多项式f(x)与g(x)的同次项系数全相等，则称f(x)与g(x)相等，记作 f (x) = g (x) 即，若 f (x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, g (x)=bmxm+bm-1xm-1+…+b1x+b0， 则 f (x) = g (x)?m=n, ai=bi ,i=0,1,…,n 若 g (x)=bmxm+bm-1xm-1+…+b1x+b0， f (x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, 其中ai,bj?P,i =0, 1, …, n; j =0,1,…,m 若n ? m，在g (x)中令bn=bn?1=…=bm+1= 0 则 若m? n ，在f (x)中令am=am?1=…=an+1= 0 则 当n ? m时， 当 m ? n时， xi的系数 若f(x), g(x)为数域P上任意两个多项式，则 1) 次数与首项性质 ① ?(f (x)?g (x))?max(?(f (x)), ?(g (x))) ② 若f (x)?0, g (x) ?0, 则f (x)g(x) ? 0 且 ?(f (x)g(x))=?(f (x))+?(g(x)) ③ f(x)g(x)的首项系数等于f(x)的首项系数 与g(x)的首项系数之积 2） 运算封闭性 f(x)?g(x), f(x)g(x)仍是数域P上的多项式 3) 运算律 ① 加法交换律 f (x) + g (x)= g (x) + f (x) ② 加法结合律 (f (x)+g (x))+h(x)=f (x)+(g(x) + h(x)) ③ 乘法交换律 f (x) g (x)= g (x) f (x) ④ 乘法结合律 (f (x) g (x)) h(x) = f (x) (g (x)) h(x)) ⑤ 分配律 f (x)[g(x)]+h(x)]=f (x)g(x) + f (x)h(x) ⑥ 消去律 若f (x) g (x)= f (x)h(x) , f (x)?0, 则 g (x)=h(x) 所有数域P中的一元多项式的全体称为数域P上的一元多项式环，记作P[x]，P 称为P[x] 的系数域． 1. 定义 2. 常见多项式环 R[x] ， Q[x] ，C[x] 设 f (x), g (x), h(x) ?R[x] 若 f 2(x)=xg2(x)+xh2 (x) , 证明 f (x)=g (x)=h(x)=0 (2) 在复数域上(1)是否成立？ 若 f (x)?0, 则 xg2(x)+xh2(x) ?0, 因为?( f 2(x))为偶数,而 ?( xg2(x)+xh2 (x)) 为奇数。矛盾 ∴ f (x)=0，从而g2(x)+h2(x)=0， 于是 故　　g (x)=h(x)=0 思考：此处是否还有其它方法？ 如取 f (x)=0, g (x)=ix, h(x)=x。