高等代数课件8.PPTVIP

作业P326 27 1) * * * 一、 若当(Jordan)形矩阵 二、 若当(Jordan)标准形 由§7.5知，n维线性空间V的线性变换在某组基下 的矩阵为对角形 有n个线性无关的特征向量 . 的所有不同特征子空间的维数之和等于n . 可见，并不是任一线性变换都有一组基，使它在这 组基下的矩阵为对角形. 本节介绍，在适当选择基下，一般的线性变换的 矩阵能化简成什么形状. 引入 的矩阵称为若当(Jordan)块，其中 为复数； 一、若当(Jordan)形矩阵 定义：形式为 由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵. 如： 都是若当块； 而下面的准对角形则是一个若当形矩阵. 注：一级若当块就是一级矩阵，从而对角矩阵都是 若当形矩阵. 1、设 是复数域C上n维线性空间的一个线性变换， 在V中必存在一组基，使　在这组基下的矩阵是若当 形矩阵，并是除若当块的排列次序外，该若当形由 　唯一决定，称之为　的若当标准形. 二、若当(Jordan)标准形 2、任一n级复矩阵A总与某一若当形矩阵相似， 并且除若当块的排列次序外，该若当形矩阵由矩阵 A唯一决定，称之为矩阵A的若当标准形. 3、在一个线性变换　的若当标准形中，主对角线 上的元素是　的特征多项式的全部根（重根按多数 （1、2、3的证明将在第八章给出） 计算）. 的矩阵为若当(Jordan)块. 附：有时也规定形式为 一、 最小多项式的定义 二、 最小多项式的基本性质 由哈密尔顿―凯莱定理， 是A的特征多项式，则 因此，对任定一个矩阵 ，总可以找到一个 多项式 　　　　　使 多项式 　　以A为根. 引入 本节讨论，以矩阵A为根的多项式的中次数最低的 那个与A的对角化之间的关系. 此时，也称 一、最小多项式的定义 定义： 设 　　　　 在数域P上的以A为根的多项 为A的最小多项式. 式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称 二、最小多项式的基本性质 1.（引理1）矩阵A的最小多项式是唯一的. 证：设 都是A的最小多项式. 由带余除法， 可表成 其中 或 　 于是有 由最小多项式的定义， 即， 同理可得， 又 都是首1多项式, 故 2.（引理2）设　　 是矩阵A的最小多项式，则 以A为根 证：充分性显然，只证必要性 由带余除法， 可表成 其中 或 于是有 由最小多项式的定义， 由此可知： 若 是A的最小多项式，则 　　整 除 任何一 个以A为根的多项式，从而整除A的特征多项式. 即 3. 矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个 因子. 例1、数量矩阵 kE的最小多项式是一次多项式 特别地，单位矩阵的最小多项式是　　　； 零矩阵的最小多项式是　　. 反之，若矩阵A的最小多项式是一次多项式，则 A一定是数量矩阵. 例2、求　 的最小多项式. 解：A的特征多项式为 又 ∴ A的最小多项式为 4. 相似矩阵具有相同的最小多项式. 证：设矩阵A与B相似， 分别为它们的 最小多项式. 由A相似于B，存在可逆矩阵T , 使 从而 也以B为根， 同理可得 从而 又 都是首1多项式， 反之不然，即最小多项式相同的矩阵未必相似. 如： 的最小多项式皆为　 　　　　　 但A与B不相似. 注： 即 所以，A与B不相似. 5.（引理3）设A是一个准对角矩阵 并设 的最小多项式分别为 . 则A的最小多项式为 的最小公倍式. 证：记 首先， 即A为 的根. 所以　 被A的最小多项式整除. 则 从而 其次，如果 从而 故 为A的最小多项式. 若A是一个准对角矩阵 且 的最小多项式为 则A的最小多项式是为 推广： 特别地，若　　　　　　　　　两两互素，即 则A的最小多项式是为 6.（引理4） 级若当块 的最小多项式为 证：J的特征多项式为 而 的最小多项式为 7.（定理13） 与对角矩阵相似 的最小多项式是P上互