高等代数多项式.PPTVIP

第1章 多项式 §1 一元多项式 §2 整除的概念 §3 最大公因式 §4 因式分解定理 §5 重因式 §6 多项式函数 §7 复系数与实系数多项式的因式分解 §8 有理系数多项式 §1 一元多项式 一、多项式 定义. 设x是一个变量(文字),n是非负整数.表示式 anxn+an-1xn-1+?+a1x+a0 , 其中an, an-1,?,a1, a0全属于数域P,称为系数在 数域P中的一元多项式,简称数域P上的一元多 项式. 注: (1) 一元多项式指只含一个变量. (2) n是非负整数. (3) 多项式常用f(x), g(x)等表示,或简记作f, g等. 设数域P上的多项式 f(x) = anxn+an-1xn-1+?+a1x+a0 , (1) an,an-1,?,a1,a0称为f(x)的系数,系数全为0的多项式称为零多项式,记作0. (2) akxk (k=n,n-1,…,1,0)称为f(x)的k次项,ak称为f(x)的k次项系数. (3) 零次项a0也称为f(x)的常数项. (5) 非零常数是零次多项式. (6) 零多项式是唯一无法确定次数的多项式. (7) 只有f(x)?0, degf(x)才有意义. 二 多项式的运算 设 f(x) = anxn+an-1xn-1+?+a1x+a0 , g(x) = bmxm+bm-1xm-1+?+b1x+b0 , 1、相等: f(x)=g(x) 若f(x)与g(x)的所有同次项系数全相等. 2、加(减)法: f(x)?g(x) 将f(x)与g(x)的所有同次项系数相加(减); 若mn时,为方便,可设 bm+1=bm+2=?= b n-1=b n =0. f(x)?g(x)= (an?bn)xn+(an-1?bn-1)xn-1+… + (a1?b1)x+(a0?b0)= 3、乘法: f(x)g(x) 将f(x),g(x)的各个项分别相乘后合并同类项. f(x)g(x)=(anxn+an-1xn-1+?+a1x+a0)(bmxm +bm-1xm-1+?+b1x+b0) 注(1)乘积f(x)g(x)中xk(0?k?n+m)的系数是 a0bk+a1bk-1+?+ak-1b1+akb0 其中,若in,则ai=0;若jm,则bj=0. (2)乘法运算式可按竖式进行. 乘法运算式 例1.设f(x)=2x2+3x-1, g(x)=x3+2x2-3x+2,则 f(x)=2x2+3x-1, ?) g(x)=x3+2x2-3x+2 . 2x5+3x4- x3 4x4+6x3-2x2 -6x3-9x2+3x 4x2+6x-2 . f(x)g(x)=2x5+7x4- x3- 7x2+9x-2 一些性质 1、数域P上的两个多项式经过加、减、乘运算后,所得的结果仍然是数域P上的多项式 2、deg(f(x)?g(x))?max(deg f(x),deg g(x)) deg(f(x)g(x))=deg f(x)+deg g(x) 3、若f(x)?0,g(x)?0,则f(x)g(x)?0,而且f(x)g(x)的首项就等于f(x)的首项与g(x)的首项之积; f(x)g(x)的首项系数等于f(x)的首项系数与g(x)的首项系数之积. 运算规律 1、加法交换律 2、加法结合律 3、乘法交换律 4、乘法结合律 5、乘法对加法的分配律 6、乘法消去律 定义 所有系数在数域P中的一元多项式全体,称为数域P上的一元多项式环,记作P[x], P称为P[x]的系数域. 例 设f(x),g(x),h(x)是实系数多项式，且 证明f(x)=g(x)=h(x)=0. 问改为复数域时，结论是否成立？ §2 整除的概念 一、带余除法 定理(带余除法)对于P[x]中任意两个多项式 f(x)和g(x), 其中g(x)?0, 一定有P[x]中的多项式q(x), r(x)存在, 使