高等数学九含参积分.PPTVIP

*第五节 一、被积函数含参变量的积分 证: 定理1 表明, 定理2. (可积性) 定理3. (可微性) 例1. 例2. 二、积分限含参变量的积分 定理4.(连续性) 定理5. (可微性) 利用复合函数求导法则及变限积分求导, 得 例3. 例4. * 一、被积函数含参变量的积分 二、积分限含参变量的积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 含参变量的积分 第九章 上的连续函数, 则积分 确定了一个定义在[a, b]上的函数, 记作 x 称为参变量, 上式称为含参变量的积分. 含参积分的性质 定理1.(连续性) 上连续, 则由 ① 确定的含参积分在[a, b]上连续. — 连续性, 可积性, 可微性 : ① 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在闭区域R上连续, 所以一致连续, 即 只要 就有 就有 这说明 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义在闭矩形域上的连续函数, 其极限运 算与积分运算的顺序是可交换的. 同理可证, 续, 则含参变量的积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由连续性定理易得下述可积性定理: 上连续, 同样, 推论: 在定理2 的条件下, 累次积分可交换求积顺序, 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 都在 证: 令 函数, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因上式左边的变上限积分可导, 因此右边 且有 此定理说明, 被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续 时, 求导与求积运算是可以交换顺序的 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 由被积函数的特点想到积分: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 考虑含参变量 t 的积分所确定的函数 显然, 由于 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 因此得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在实际问题中, 常遇到积分限含参变量的情形, 例如, 为定义在区域 上的连续函数, 则 也是参变量 x 的函数 , 其定义域为 [ a , b ] . 利用前面的定理可推出这种含参积分的性质. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上连续, 则函数 证: 令 则 由于被积函数在矩形域 上连续, 由定理1知, 上述积分确定的函数 都在 中的可微函数, 则 证: 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * * * * *