高等数学十微分方程().PPTVIP

第十二章 微 分 方 程 高阶微分方程 * 一、可降阶的高阶微分方程 1．高阶微分方程的定义 2．可降阶的高阶微分方程类型 (1) (2) (3) 3．可降阶的高阶微分方程的解题方法流程图 可降阶的高阶微分方程，是通过引入变量进行降阶，转化为成一阶微分方程，通过判定一阶微分方程的类型，求出通解。解题方法流程图如下图所示。 解题方法流程图 逐次积分 解一阶微分方程 解一阶微分方程 可降阶的高阶微分方程 特点:不显含 转化为一阶方程 特点:不显含 通解 Yes No 令 令 转化为一阶方程 二、二阶常系数线性微分方程 1．定义 (1)二阶常系数线性齐次微分方程： (2)二阶常系数线性非齐次微分方程: 2．解的结构性质 (1)若 和 是齐次方程的解,则 是齐次方程的解。 (2)若 和 是齐次方程的线性无关解,则 是齐次 方程的通解。 (3)若 是齐次方程的通解， 是非齐次方程的特解， 则 是非齐次方程的通解。 和 (4)若 分别是非齐次方程的特解，则 是非齐次 方程的特解。 通 解 特征根 3. 齐次方程的解题方法 2）求齐次线性方程的通解 1）写出特征方程 , 并求特征根 ； 4. 非齐次方程的特解 (1) 若 设特解为 不是特征方程的根 是特征方程的单根 是特征方程的重根 设特解为 (2) 若 不是特征方程的根 是特征方程的根 5. 非齐次方程的解题方法 求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，一般分为四步： 2）求对应的齐次线性方程的通解 3）根据不同类型的自由项 ，利用待定系数法求出 一个特解 4）写出原方程的通解 。 解题方法流程图如下图所示。 1）写出特征方程 , 并求特征根 ； 解题方法流程图 特征方程： 有实根 的类型 混合型 对 分别求特解 令 k为特征方程含根 的重复次数 代入原方程，用待定系数法确定其参数 令 k为特征方程含根 的重复次数 通解 Yes Yes Yes No No No 求 通解 No 【例1】求方程 的通解。 解：由于不显含 ，令 ，则 代入原方程整理得 即 因此 再积分一次，即得原方程的通解为： 此解可以写成 分析：此方程为可降阶的二阶微分方程，由于不显含 所以可引入变量 将二阶微分方程变成一阶微分方程，然后根据一阶微分方程的特点求解。 【例2】求方程 的通解。 分析：此方程为可降阶的二阶微分方程，由于不显含 所以可引入变量 将二阶微分方程变成一阶 微分方程，然后根据一阶微分方程的特点求解。 解：由于不显含 ，令 ，则 代入原方程整理得 即 为一阶线性微分方程 利用公式得 即 积分得 分析：此方程为可降阶的二阶微分方程，由于不显含 所以可引入变量 将二阶微分方程变成一阶 微分方程，然后根据一阶微分方程的特点求解。 解：由于不显含 ,令 ,则 代入原方程整理得 所以 或 当 时，此方程为可分离变量的方程， 分离变量得： 【例3】求方程 满足初始条件 的特解。 积分得： 所以 即 将 代入得 ，从而 分离变量得： 将 代入得 所求方程的特解为： 特解为 ，含在 内。 当 时，即 积分得 【例4】已知 是某个二阶线性非齐次微分方程的三个特解，求通解 及方程的表达式。 分析：由二阶线性非齐次微分方程解的结构，先求出 对应齐次方程，从而得出通解及方程的表达式。 解：因为 是对应齐次方程 的两个线性无关的特解，可知特征方程有两个根 ，特征方程为 对应齐次方程为： 对应齐次方程通解为： 又因为 是非齐次微分方程的特解，将其代入 有 所求的方程为： 通解为： 【例5】求方程 满足初始条件 的特解。 分析：此为二阶常系数非齐次线性微分方程，由解的结 构，先求出对应齐次的通解，再求出其本身的一个特解. 解：所给的方程是二阶常系数非齐次线性微分方程， 它的特征方程 解得两个不同的实根 故齐次方程的通解为 由于