高等数学概率项分布.PPTVIP

* 第四章 几种重要的分布 在这一章中，我们将从分布列（或概率密度）、概率背景、数字特征等方面集中讨论一些重要的随机变量的分布。 一、常见的离散型随机变量的概率分布 （一）0－1分布 1、概率函数 2、数学期望和方差 3、概率背景 设随机试验 E 只有两种可能结果：A和 ，且P(A)=p (0p1)， 。用 表示一次试验中A发生的次数，则 服从参数为 p 的0－1分布。 例如：掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点” 新生儿：“是男孩”，“是女孩” 抽验产品：“是正品”，“是次品” （二）二项分布 1、概率函数 2、概率背景 若随机变量 的概率函数为 其中0p1，则称 服从参数为n，p的二项分布，记为 。 用 表示 n 重伯努利试验中事件A发生的次数，且P(A)=p (0p1)，则 服从参数为n，p 的二项分布，即 。 例1、 设生男孩的概率为 p ，生女孩的概率为 q =1-p，令 表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数. ～B (4，p) 解： 概率函数为 解： 例2、将一枚均匀骰子抛掷3次， 令 表示3次中出现“4”点的次数。 ～B (3，1/6) 概率函数为 例3、 某类灯泡使用时数在2000小时以上视为正品.已知有一大批这类的灯泡,其次品率是0.2。随机抽出20只灯泡做寿命试验,求这20只灯泡中至多有3只是次品的概率. 解: 设 为20只灯泡中次品的个数 ,则. ~ B (20, 0.2) 所以 特别地，当二项分布B (n, p)的参数n=1时，B (1, p)就是参数为p的0－1分布。 说明 设试验E只有两个结果：A和 . 记P(A)=p,则P( )= 1- p , 0p1, ~ B (n, p) ~ B (1, p) 我们把试验E在相同条件下,相互独立地进行n次,且记 为n次独立试验中事件A发生的次数. 为第 i 次实验中事件A发生次数。则 相互独立，且 下面我们考虑二者之间的关系 一个服从二项分布B(n, p)的r.v.总可以写成n个相互独立且服从同一个0－1分布B(1, p)的r.v.之和 3、二项分布的期望和方差 方法一： 同理可求得 故 方法二 因为一个服从二项分布B(n, p)的r.v.总可以写成n个相互独立且服从同一个0－1分布B(1, p)的r.v.之和。即 且 4、二项分布的最可能值 设 ～B (n, p)，使概率P{ =k }取最大值的k，记作 ，称为二项分布的最可能取值。并且 np+p的最大整数部分 证明： 例4、 设每发子弹打中飞机的概率为0.01，问500发子弹击中飞机最可能次数为多少？并求其相应概率。 ～B(500,0.01) 解：设500发子弹击中飞机的次数为 ，则 np+p=500×0.01+0.01=5.01 所以，最可能取值 =[5.01]=5 例5、 课本82页例4。 （三）超几何分布 1、概率背景 设箱中有N个球，其中N1个白球，N2个黑球（N1＋N2＝N）。现从中不放回（即不重复）地抽取n个球，令 表示这n个球中白球（或黑球）的个数，则 服从超几何分布。 抽球问题或产品检验问题 2、超几何分布的概率函数 3、超几何分布的期望和方差 例6、 一个袋子中有5个红球3个白球，从中任取4球（无放回），若 表示取到的红球数，则 服从 分布， 的概率函数为 。 如果是从中有放回地取4球，则 服从 分布， 的概率函数为