高考理科数学总复习(轮)广西专版课件：数学归纳法及其应用(课时).PPTVIP

1.从一系列有限的① 得出②—————————的推理方法，叫做归纳法. 2.对一个与正整数n有关的命题： 第一步：验证当n取③ 时命题成立； 第二步：假设当④ 时命题成立，证明当⑤ 时命题也成立. 在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从⑥ 开始的所有正整数n都成立，这种证明方法叫做数学归纳法. 3.数学归纳法需要完成两个步骤的证明，缺一不可.其中第一步是奠基步骤，是⑦————————的基础；第二步反映了无限递推关系，即命题的正确性具有⑧ .若只有第一步，而无第二步，则只是证明了命题在特殊情况下的正确性；若只有第二步，而无第一步，那么假设n=k时命题成立就没有根据，递推无法进行. 1.设 那么f(n+1)-f(n)等于( ) 解： 2.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形的对角线条数f(n+1)为( ) A. f(n)+n+1 B. f(n)+n C. f(n)+n-1 D. f(n)+n-2 解：由n边形到n+1边形，增加的对角线是增加的一个顶点与原(n-2)个顶点连成的(n-2)条对角线，及原先的一条边成了对角线.故选C. 1. 设n∈N*，求证： 证明：(1)当n=1时，左边= 右边 所以等式成立. (2)假设n=k(k∈N*)时等式成立， 即 则当n=k+1时， 所以当n=k+1时等式也成立. 综合(1)(2)知，对一切正整数n等式都成立. 点评：运用数学归纳法证明恒等式(不等式)的要点是“两步一结论”，即第一步先验证初始结论；第二步是先假设n=k时命题成立，再由n=k时的命题作条件，推导n=k+1时结论也成立；一结论是指最后归纳前面两个步骤，得出原结论是成立的. 所以当n=k+1时，不等式也成立. 综合(1)(2)知，对于一切大于1的自然数, 不等式都成立. 2. 设a为实常数，n∈N*， 证明:an+2+(a+1)2n+1能被a2+a+1整除. 证明：(1)当n=1时， a3+(a+1)3=(2a+1)［a2-a(a+1)+(a+1)2］ =(2a+1)(a2+a+1). 它能被a2+a+1整除，所以n=1时命题成立. (2)假设当n=k时， ak+2+(a+1)2k+1能被a2+a+1整除， 则当n=k+1时，ak+3+(a+1)2k+3 =a［a k+2+(a+1)2k+1］+(a+1)2k+3-a(a+1)2k+1 =a［ak+2+(a+1)2k+1］+(a2+a+1)(a+1)2k+1. 因为ak+2+(a+1)2k+1与 a2+a+1都能被a2+a+1整除， 所以上面的和也能被a2+a+1整除. 即当n=k+1时，ak+3+(a+1)2k+3能被a2+a+1整除. 综合(1)(2)知，命题对任何n∈N*都成立. 点评：用数学归纳法证明整除问题的关键是第二步的配凑变形，即把n=k+1的命题形式通过添项配凑成n=k时的结论加除式的倍式的形式. 平面内有n个圆，其中每两个圆都相交，任何三个圆都无公共点，证明：这n个圆把平面分成n2-n+2个区域. 证明：(1)当n=1时，一个圆把平面分成两个区域，而12-1+2=2，所以命题成立. (2)假设当n=k时命题成立，即k个圆把平面分成k2-k+2个区域. 则当n=k+1时，第k+1个圆与原有的k个圆共有2k个交点，这些交点把第k+1个圆分成了2k段弧，其中每段弧都把它所在的区域分成了两部分，因此共增加了2k个区域. 所以这k+1个圆把平面分成 k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2个区域， 即当n=k+1时命题也成立. 综合(1)(2)知，对任意n∈N*，命题都成立. 1. 数学归纳法的第一步有时要验证从n0开始的多个正整数命题成立，这主要取决于从k到k+1的奠基是什么数.如果假设当n=k时命题成立，并要求当k≥m时才能得出n=k+1时命题也成立，则第一步必须验证从n0到m的各个正整数命题都成立. 2. 第二步的证明必须运用“归纳假设”作为证明n=k+1时命题成立的条件，否则就不是数学归纳法了. 3. “归纳假设”可以是一个式子(等式或不等式)，也可以是一段具有数学意义的数学语言，有时需要对它作适当变通，而不是机械地套用. 4. 如果命题是对正奇数(或正偶数)成立，则假设n=k时命题成立后，要证明n=k+2时也命题成立.若第(1)步证明n=1和n=2时命题成立， 第(2)步假设n=k时命题成立，证明n=k+2时