高阶方程的降阶和幂数解法.PPTVIP

内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 特别是，对于二阶（变系数）齐线性方程，如果知道它的一个非零特解，则可利用降阶法来求得与它线性无关的另一个特解，从而得到方程的通解。对于非齐线性方程，只需再运用常系数变易法求出它的一个特解，问题也就解决了。 第三节、高阶方程的降阶和幂级数解法 一般的高阶微分方程没有普遍的解法，处理方法： 降阶。 在于寻找齐线性方程的一个非零特解。 因此，问题的关键： 一、可降阶的一些方程类型 方程不显含自变量 的方程，可引进变换把原方程降一阶为 阶方程。 齐线性方程：通过非零特解作变换进行降阶。 方程不显含未知函数 ，或更一般地，设方程不含 , 即方程可降阶为 阶方程。 主要内容 二、二阶线性方程的幂级数解法 (目的：变换之后的方程能够求解。) 一般形式的n阶微分方程： 特殊形式的n阶微分方程： 引入变换： 降阶后的微分方程： 1、方程不显含未知函数 ，或更一般地，设方程不含 ,即方程可降阶为 阶方程。 一、可降阶的一些方程类型 【例1】 求方程的解 . 分析：引进变换，改写原方程，多次积分. 2、方程不显含自变量 t 的方程，可引进变换把原方程降一阶为 n-1 阶方程。 实质：若令 ，并以它为新的未知函数，而视x为新的自变量，此时方程可降一阶。事实上，有 于是，有 一、可降阶的一些方程类型 【例2】 求方程 的解。 讨论： 的情况． 分析：引进变换，改写原方程，求解，讨论. 讨论： 的情况． 求解得 , 作变换 有 变量还原得到原方程的解 。 当 ，即 时，有解： . 【例3】 求数学摆的运动方程 满足初始条件：t=0时， 的解。 分析：引进变换，改写原方程，求解，讨论. 有 利用初始条件，有 结论：非线性的情形比线性的情形要复杂得多。 是一个椭圆积分，不能用初等函数表示出来。 是摆从最大正偏离角 第一次到达 所需时间。 令 有 通过分析，只需讨论摆在 时间内的情况即可。 3、齐线性方程 分析：求 n 阶齐线性方程（4.2）无普遍方法，这与常系数方程的求解有着很大的区别，但是通过分析知道，如果有一个非零特解，则利用变换，可将方程降低一阶;如果知道 k 个线性无关的特解，则通过一系列同类项的变换，使方程降低 k 阶，并得到 n-k 阶方程，也是齐线性的。 一、可降阶的一些方程类型 引进变换 ，并引入新的未知函数 便得到新的n-1阶方程。 设 是方程（4.2）的k个线性无关的解。 求解（4.67）,就知道它的k-1个线性无关的解 。 这种方法对于二阶齐次线性微分方程尤其有效。如果知道它的一个非零解，则方程的求解问题解决了。（让同学们先推导！） 通过以上类似的变换，对方程（4.67）实施同样的变换，可将（4.67）降为n-2阶的方程，如此进行下去，可以将原方程（4.2）变为n-k阶方程。 设 是二阶齐线性方程 的解。于是有通解为： 例3 已知 是方程 的解， 试求方程的通解。 解：1、公式法：已知特解求通解； 2、直接推导法：熟悉根据特解求通解的过程。 二、幂级数解法 二阶变系数齐线性方程的求解问题归结为寻求它的一个非零解，找非零解是一件很困难的事？而方程的系数是自变量的函数，不能再用代数方法去求解了。但是，从微积分学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。 因此，自然想到，用幂级数来表示微分方程的解。 例5 求方程 的满足初始条件y(