齐次线性方程组的般理论.PPTVIP

齐次线性方程组的一般理论 * * 表示线性方程组(4.9)的解集, 直接验证可得如下的叠加原理: 本节主要研究齐次线性方程组(4.9)解集的代数结构问题. 用 考虑齐次线性方程组 (4.9) 命题4.1 若 , 则 其中 为任意常数. , 证明思路： 按照线性空间的定义，逐条验证即可。 在实域上构成 一个 定理4.2 齐次线性方程组(4.12)的解集 维线性空间. , 定义4.1 设 , 是定义在区间 上的一组 维函数向量.如果存在一组不全为零的常数 , , 使恒等式 (4.10) 在区间 上成立, 则称函数向量组 , , ,则称函数向量组 上是线性无关的. 换句话说, 恒等式(4.10)在 上成立, 当且仅当 在区间 上是线性相关的. 否则, 则称函数向量组 在区间 = , 在区间 上线性无关. 例4.1 函数向量组 , 在任何区间 上线性无关. 证明：要使 , , 即 , . 显然, 只有当 时, 才能使上述恒等式在区间 上成立. 因此, 所给函数向量组 , 在任何区间 上线性无关. 例4.2 个函数向量组 , , 在任何区间 上线性无关. , 上线性相关, 则存在不全为零的常数 证明：假若它们在某一区间 , ,使恒等式 , . 成立，于是 , . 的多项式, 根据代数学基本定理, 它在区间 上述左端是次数不超过 上至多有 个零点, 因此推出矛盾. 上的函数向量组的线性相关性和它在每一点 维函数向量可以线性无关, 这与 注1：在例4.2中显示 个 个 维向量必线性相关的性质恰恰相反. 由此可见, 定义在区间 处的向量组的线性相关性并不一致. 维线性空间的性质,立刻可得如下齐次线性方程组(4.9)的通解结构定理. 注2：此时我们并不要求函数向量组是齐次线性方程组(4.9) 的解. 根据 定理4.3齐次线性方程组(4.9)在定义区间 上必存在 个线性无关的解 , , 其通解为 , , (4.11) 并且通解包含所有的解, 其中 , , 为任意常数. 证明思路：只要找到 n 个线性无关解，方程的任何解都 可由它们线性表示即可。 证明: 取 的一组基 , , 其对应的一组解 ( )将构成解集 的一组基（解的存在唯一性). 为此只需要证明 , , 在区间 上线性无关即可. 则由定理4.1知: 必存在线性映射 满足: ( ). , , 倘若 . 于是 而由 的线性性质可知: , 所以 , 由此可得 = ,故 , 在区间 上线性无关. 因此 为齐次线性方程组(4.9)的通解, 它包含所有的解.□ 个线性无关的解所构成的矩阵称为基解矩阵, 记为 定义 基解矩阵 因此, 通解结构定理可以写成如下矩阵形式. 通解为 定理4.4 齐次线性方程组(4.9)必存在基解矩阵 , 并且包含所有的解, 其中 为任意 维常向量. 于是求解问题就转化为求它的基本解组的问题. 个解, 如何有效地判断它们是否线性无关? 刘维尔公式很好地解决了这个问题. 对于给定的 定理4.5 线性齐次方程组(4.9)的 个解所构成的矩阵 满足刘维尔公式 , (4.12) 其中 表示矩阵 的迹, 表示基解矩阵 的行列式. 证明: 对 关于 进行泰勒展开, 我们有 , 由于 所以 . 令 可得 满足一阶线性方程 . 求解即可得Liouville 公式. □ 记 , 称 为齐次线性方程组(4.9