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2000.4 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 第五章 大变形问题的有限单元法 1. 弹性大变形问题的有限元法 2. 弹性分支点稳定问题有限元分析 3. 物质描述大变形增量问题的T.L 、U.L法 证明 1. 弹性大变形问题的有限元法 2. 弹性分支点稳定问题有限元分析 2. 弹性分支点稳定问题有限元分析 2. 弹性分支点稳定问题有限元分析 2. 弹性分支点稳定问题有限元分析 3.1 物质描述大变形增量问题的T.L法 3.2 物质描述大变形增量问题的U.L法 和材料非线性问题相比，几何非线性问题具有更为复杂的载荷－位移路径 几何非线性问题载荷－位移路径一般途径 对于复杂的载荷－位移路径的数值模拟，一般采用增量方法。对于刚度变化较大的问题，可以采用载荷增量步自动选则的方法 u u u 对分支点稳定问题，关键是建立几何刚度矩阵。此时，以失稳前的平衡位置作初始位形，以失稳形态作现时位形。 和前述弹性大变形不同的是： 大位移矩阵可忽略。 应变仅包含失稳位移的非线性项。 分支点处相应失稳位移的综合荷载为零。 失稳前变形是微小的。 由于是比例加荷，在基准荷载下初始位形（稳定平衡位置）时的应力可由线性分析求得，因此上节几何刚度矩阵式子里的S 与荷载比例系数成正比。 在比例加载时 为荷载系数， 为单元基准荷载下的几何刚度矩阵。 由此可见，第一类稳定问题最终归结为求解一个特征值问题。 解得特征值后，即可得到临界荷载，一般只关心最小临界荷载。 设变形前单元长度为l，截面积为A，弹性模量为E。单元杆端位移矩阵为δe 式中 2.1 桁架单元 。单元位移为 式中 为失稳位移（出平面的位移）。基于此，单元格林应变为（针对失稳前定义） 克希荷夫应力为 因分支点稳定关心的临界荷载，临界荷载时平衡有两重性，故临界状态应力等于失稳前状态的应力，也即 基于上述结果，单元几何刚度矩阵为 ，失稳前应力为 设变形前单元长度为l，截面积和惯性矩为A、I，弹性模量为E。单元杆端位移矩阵为δe 单元位移为 式中 2.2 梁单元 式中Ni和线性有限元梁单元一样。梁单元应变为 其中第一项为线性有限元里的线性项，非线性的第二项为 基于上述结果，单元几何刚度矩阵为 象桁架单元说明一样，单元应力为 对弹塑性、粘性-蠕变和施工力学等问题，介质的反应和变形的历史有关。对随时间变化的荷载，需要将时间变量离散成序列，以求解各时刻的响应。为此，都需要用增量法来解决。 从t到t+Δt的增量期间进行物质描述求解时，一般可选两种参考位形：初始和t时刻的位形。前者称为全拉格朗日(T.L)表述，后者称为修正拉格朗日(U.L)表述。 设从0到t时刻的全部反应、位形均已求得，现在的问题是，如何求t+Δt时刻的响应。 未知 设t0、t和t+Δt的物理量分别用如下符号标记 对T.L法，介质位移是初始位形坐标的函数 坐标 ，密度 面积和体积 设有限元分析时单元形状描述为 又设有限元分析时单元位移场为 式中雅可比矩阵J为 象线性有限元等参元分析一样，由于形函数一般是对自然坐标 定义的，因此有限元分析中的对坐标求导等，应象线性有限元一样进行转换。 在上述记号下，格林应变为 时刻t －t +Δt的应变增量为 式中 t +Δt时刻 t时刻 由于，u (t时刻)在增量步内已知，因此 同大变形有限元，将张量转换为矩阵，则 引入大变形所用算子记号，则有 由于u在增量步内已知，因此 B和BL都是已知的。又若记 则有 因为 ，因此 综上可得 为进行有限元列式，还需讨论克希荷夫应力。设t和t+Δt时刻的应力分量分别为 基于上述分析，利用t+Δt时刻的虚位移原理虚功方程 则象应变分析一样，可将 分成 。同样换为矩阵表示，则有 再次强调，t时刻及其前的量都是已知的，因此变分为零。基于此 将此结果代入虚功方程，可得单元刚度方程 式中 和 是对初始位形定义的，t+Δt时刻的体积力和表面力，它们是已知的。 式中 t时刻应力引起的等效结点力矩阵 t+Δt时刻荷载引起的等效结点力矩阵 或 将其按集成规则集装后可得 再引入如下记号 将 和 的表达式代入，可得 几何或非线性应变增量刚度矩阵 或