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安康职业技术学院课时授课计划（教案首页） 授课顺序 总第一讲 班 级 14级高职会计班 授课教师 郭必军 课 题 第三章中值定理遇到数的应用 第一节微分中值定理 学时 2 节 课程目标 教学目标：1、使学生掌握拉格朗日中值定理，熟练运用拉格朗日中值定理证明恒等式、不等式以及方程根的存在性等； 2、使学生在掌握拉格朗日中值定理的同时，能联系前后学习的内容进行层次归纳与总结，形成系统的知识层次与结构； 情感目标： 使学生经历拉格朗日中值定理的完整的研究过程，体会数学研究与数学应用的乐趣，发展应用意识和解决问题的能力 达标过程与教学环节 一、导入新课 二、讲授 三、例题讲解 四、课堂练习 五、板书设计（略） 六、作业 授课方式 以启发式讲授为主，采用多媒体辅助演示。 教 具 教研室签字 系主任签字 课时目标形成性测试 评估与反馈 备注 安康职业技术学院教案续页 教学过程: 一、内容回顾 定理1（Rolle）若函数满足条件 （1）在闭区间上连续； （2）在开区间内可导； （3）。 则至少存在一点，使得。几何意义：在定理的条件下，区间内至少存在一点，使得曲线在点处具有水平切线。 二、拉格朗日中值定理 定理2（Lagrange）设函数 满足条件： （1）在闭区间上连续； （2）在开区间内可导； 则在内至少存在一点， 使得 。 或写成 。 上述公式称为拉格朗日中值公式，且对于也成立。 几何意义：如果连续曲线上除端点外处处具有不垂直于轴的切线，则在曲线弧上至少存在一点，在该点处曲线的切线平行于弦。 由拉格朗日定理的几何意义可以看出，当函数满足时，此时弦的斜率等于零。即 。这便是罗尔定理的结论。所以罗尔定理可以看成是拉格朗日中值定理的特殊情形。 即 Lagrange中值定理Rolle定理 证明分析：若记 ，要证（1）式，即证 也就是是否存在，使函数 在处的导数为零？即。 证明： 作辅助函数，。 容易验证在闭区间上连续，在开区间内可导，且 。 从而满足罗尔定理的条件，即至少存在一点 ，使。 即 由拉格朗日中值定理还可以得出下面的推论： 推论 设函数在开区间内可导,且 ，则在内为常数。即 ，，其中为常数。 证：任取，不妨设，在上应用定理2，得，其中 。因为，所以 ，从而。由的任意性可知，为常数。 三、定理的应用 例1 证明 。 证： 设，则在上 ，由推论1可知 （常数）。令，得 。又，故所证等式在定义域上成立。 练习1：证明 证：设，则在上， ，由推论可知 ， 令得。 故所证等式在定义域上成立。 例2 证明不等式。 证：设，则在上满足拉格朗日中值定理条件，因此有 即，又因为， 所以 。 练习2：证明不等式 。 证：设，，则在上满足拉格朗日中值定理的条件，因此有 即，因为， 所以 例3 设在内可导，且，又对于内的所有点有，证明方程 在内有唯一实根。 证： 存在性 设 则在内可导,连续。又，所以 ，。由零点定理知 在内至少存在一个零点，即方程 在内至少有一个实根。 唯一性（反证法） 假设方程在内有两个实根，不妨设， 则有，。对函数在 上应用拉格朗日中值定理，知存在，使得，与题设矛盾，唯一性得证。 课堂小结： 一、拉格朗日中值定理（注意与罗尔定理的关系）； 二、拉格朗日中值定理的推论； 三、拉格朗日中值定理的应用。 （证明恒等式、不等式以及方程根的存在情况等） 课后作业：P96 ：9、10、11（1）、（3）、(4)、（6）。