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工科高等数学A班选修讲义（2）（4+4=8学时） 第九章 多元函数微分学 一、二元函数连续、偏导和可微（微分） 1.基本概念 定义 1 二元函数的定义 设D是平面上的一个点集，如果对每个点P(x,y)∈D，按照某一对应规则f，变量z都有一个值与之对应，则称z是变量x，y的二元函数，记以z=f（x，y），D称为定义域。 定义 2 二元函数的几何意义 二元函数z=f（x，y）的图形为空间一块曲面，它在xoy平面上的投影域就是定义域D。 例如 二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D就是xoy平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。 定义3 极限 当点以任何方式趋于点时,函数值无限接近常数 ，则称是函数在点的极限，记作． 定义4 连续 如果，则称函数在点上连 续．若内每一点皆连续，则称在D内连续。 定义5 偏导数 设，函数在点关于变量的偏导数为 ．记作，或 类似的，定义函数在点关于变量的偏导数为 ．记作，或 定义6 可微 设函数在点是可微的，如果 其中，是与无关的常数． 定义7 全微分 函数的全微分： 　　函数在点的全微分： 注1 二元函数的极限：是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于 注2 偏导数的几何意义：是曲面与平面交线上的点 的切线关于轴的斜率．类似解释几何意义． 注3 可微的几何意义： 函数在点是可微，则在曲面上的 点存在切平面。 注 4 对连续、偏导存在和可微的直观理解： （1）一点连续只需这点的邻域的曲面连接不断； （2）一点偏导存在只需在这点的邻域的曲面沿轴方向和轴方向平稳、光滑； （3）一点可微要求这点邻域的曲面任意方向都平稳、光滑。 2. 基本结论 定理1（连续、偏导存在和可微关系定理） （1）可微偏导存在，连续； （2）偏导存在和连续没有必然关系 （3）偏导存在+偏导函数连续可微． 定理2（偏导和顺序无关） 二阶混合偏导连续，则二阶混合偏导相等，即和求导顺 序无关． 定理3（二元连续函数的性质）若二元函数在有界闭区域上连续，则 （1）有界性 在上有界，即存在，使得，． （2）最值性 设分别是函数在上的最小值和最大值，则存在 ，使得，。 （3）介值性 ，，都存在点，使得． 定理4（二元初等函数性）一切二元初等函数在其定义区域内都是连续的． 3. 计算（讨论）二元函数极限、连续、偏导和可微（微分）的基本方法 题型1 求二元函数的极限 （1）将二元函数转换成或看成一元函数的极限； （2）放大和缩小，利用夹逼法则； （3）原点的极限，可以作极坐标变换（这是求二元函数极限特有的方法）． 例1 求下列二元函数的极限： （1）； （2）． 题型2 证明二元函数极限不存在 （1）找一条通过极限点的路线（直线或曲线）使极限不存在 （2）找两条通过极限点的不同的路线（直线或曲线）使极限不相等 例2 证明下列二元函数在点的极限不存在： （1）； （2）． 题型3 求多元函数的偏导数：定义法和公式法． 例3 求在点的关于和的偏导数． 例4 求函数 在点处的偏导数． 题型4 讨论在点可微性 （1）计算偏导数和； （2）计算和 （3）求极限 若等于0，则在点可微，否则不可微． 例5 讨论二元函数 在点处的连续性、偏导存在性和可微性． 题型5 求复合函数偏导数和高阶偏导数 1. 明确复合函数的自变量、中间变量以及中间变量的个数 如果复合函数是具体函数，中间变量的个数根据函数变量“个数”确定；如果复合函数是抽象函数，中间变量的个数根据函数的“项数”确定． 2. 链式求导法则 函数对某一自变量的偏导(全导)等于：该函数对第一个中间变量的偏导乘以第一个中间变量对此自变量的偏导(全导)，加这个函数对第二个中间变量的偏导乘以第二个中间变量对此自变量的偏导(全导)，等等直至加这个函数对最后一个中间变量的偏导乘以最后一个中间变量对该自变量的偏导(全导)． 例如：模型I. 设 则 ； 模型II. 设 则 ， 模型III. 设 则 3. 关于中间变量的偏导的表示 设函数，函数对的偏导可表示为，和．在解题过程中，用表示比较方便．特别地，若中间变量不是单独一个字母，只能用位置来表示，即，这里的1表示第一个中间变量． 4. 关于中间变量的高阶偏导的表示 当对一阶偏导函数如的某自变量再求偏导时，把当作普通的函数符号，自变量和中间变量以及中间变量的个数和函数完全相同．对偏导函数的第几个中间变