(数)导数与微分解答.docVIP

第二讲 导数与微分 一、大纲考试要求 1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程． 2．掌握基本初等函数的导数公式．导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数 会求反函数与隐函数的导数． 3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数． 4．了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分． 二、内容提要 导数的概念 （变形，注意相应的增量的含义） 几何意义：切线与法线的求法。物理意义：速度，加速度。 左，右导数的概念：；与记号：的区别。 求导数的四则运算，复合运算，反函数，隐函数，参数方程决定的函数的导数的计算。（积分限函数的导数在定积分复习） 微分的概念与求法；可微，可导，连续的关系；微分在近似计算中的应用；一阶微分形式的不变性。 高阶导数（递归定义） 多项式的高阶导数；可求阶导数的函数形式：等（注意变化为这类函数），莱布尼兹公式；分段函数在分断点的高阶导数；反函数，隐函数，参数方程决定的函数的高阶导数。 基本初等函数的求导公式。 常考知识点 导数定义的考查 求已知函数（包括显式、隐式、参数式及变上限积分确定的函数）的导数或微分或高阶导数。 判断函数在一点的可导性（常结合连续性、极限存在性）。分段函数的导数 导数的几何意义，即曲线的切线和法线的求法（曲线方程可以是显式、隐式、参数方程形式及极坐标形式）。导数的经济意义（含边际与弹性的概念） 可导、可微、连续的关系。 导数定义的考查 例1：，求 解： 例2：，为正整数，求 解 类似：求 例3：设存在， ，则 （B） （C） （D）0 解 例4：设函数在点可导，则函数在点不可导的充分条件是 （A） （B） （C） （D） 解 因为在左右恒正恒负，都可导，所以在左右一定是一边正，一边负。即如，可不导即是 例5：设在上连续，且，则下列结论中错误的是 （A）至少存在一点，使得 （B）至少存在一点，使得 （C）至少存在一点，使得 （D）至少存在一点，使得 例6：设函数在处连续，且，则（） (A) 存在 (B) 存在 (C) 存在 (D)存在 各类函数的导数，高阶导数，微分的求法 复合函数 例7．求。 解 例8：，则 解 参数方程决定的函数 例9．决定，求。（的求法） 解 例10．求曲线在处的切线与法线方程。 解 切点为 所以切线方程为 法线方程为 隐函数 例11．决定，求。（的求法） 解 两边对求导 对（1）两边求导 例12．决定，求。 解 幂指函数（取对数或用） 例13．，求。 解 例14．确定了，求。 解 两边去对数 即 多个因子乘积的函数（多个指至少3个） 例15．，求。（形式写法） 解 两边取对数 两边求导 例16．，求。 解 分段函数 例17．求。 解 即 例18．，求。 即 例19．有几个不可导点？ 解 所以 不存在 不存在 不存在 不存在 例20．，求。 解 而且函数在不可导 故 例21．，求（1），使存在。（2），使存在。 解 （1） 存在 故 是连续函数，故任意 （2）存在 即 存在，从而 存在 即 反函数 例22．不求出反函数，计算的反函数的二阶导数。 解 积分限函数（在定积分一章复习） 例 设函数 是有所确定的求 解 9．阶导数的其它例子 例23．，求。 解 例24．设， ，则 解 例25．，求。（莱布尼兹公式的适用范围） 解 所以 例 ，求。 解 。 所以 例 ，求。 解 所以 杂例 例26．设在处有，在的某邻域内有界。证明在处可导，并求。 解 例27．设可导，则（ D ）。 A ，B ， C ，D 。 例28．作变量代换将微分方程化为关于的微分方程（并求方程的通解）。