(空间几何体的表面积及体积).docVIP

第二节空间几何体的表面积和体积 [知识能否忆起] 柱、锥、台和球的侧面积和体积 面积 体积 圆柱 S侧＝2πrl V＝Sh＝πr2h 圆锥 S侧＝πrl V＝Sh＝πr2h＝πr2 圆台 S侧＝π(r1＋r2)l V＝(S上＋S下＋)h ＝π(r＋r＋r1r2)h 直棱柱 S侧＝Ch V＝Sh 正棱锥 S侧＝Ch′ V＝Sh 正棱台 S侧＝(C＋C′)h′ V＝(S上＋S下＋)h 球 S球面＝4πR2 V＝πR3 [小题能否全取] 1．(教材习题改编)侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的全面积是(　　) A.a2　　　　　　　　　 B.a2 C.a2 D.a2 解析：选A　∵侧面都是直角三角形，故侧棱长等于a， ∴S全＝a2＋3××2＝a2. 2．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为(　　) A．12π B．36π C．72π D．108π 解析：选B　依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为3×＝6，高为 ＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的表面积等于4π×32＝36π. 3.某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为5的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6，高为5的等腰三角形，则该几何体的体积为(　　) A．24 B．80 C．64 D．240 解析：选B　结合题意知该几何体是四棱锥，棱锥底面是长和宽分别为8和6的矩形，棱锥的高是5，可由锥体的体积公式得V＝×8×6×5＝80. 4．(教材习题改编)表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________． 解析：设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r， 则πrl＋πr2＝3π，πl＝2πr. 解得r＝1，即直径为2. 答案：2 5.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是________． 解析：由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积，为2；侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以侧面积为2π.两部分加起来即为几何体的表面积，为2(π＋)． 答案：2(π＋) 1.几何体的侧面积和全面积： 几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行． 2．求体积时应注意的几点： (1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解决． (2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性． 3．求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理． 几何体的表面积 典题导入 [例1]　(2012·安徽高考)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________． [自主解答]　由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱(如图所示)． 在四边形ABCD中，作DE⊥AB，垂足为E，则DE＝4，AE＝3，则AD＝5. 所以其表面积为2××(2＋5)×4＋2×4＋4×5＋4×5＋4×4＝92. [答案]　92 由题悟法 1．以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量． 2．多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． 3．旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用． 以题试法 1．(2012·河南模拟)如图是某宝石饰物的三视图，已知该饰物的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么该饰物的表面积为(　　) A.　　　　　　　　B．2 C．4　　　　　　　D．4 解析：选D　依题意得，该饰物是由两个完全相同的正四棱锥对接而成，正四棱锥的底面边长和侧面上的高均等于菱形的边长，因此该饰物的表面积为8×＝4. 几何体的体积 典题导入 [例2]　 (1)(2012·广东高考)某几何体的三视图如图所示，它的体积为(　　) A．72π　　　　　　　　　　 B．48π C．30π D．24π (2)(2012·山东高考)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为________． [自主解答]　(1) 由三视图知，该几何体是由圆锥和半球组合而成的，直观图如图所示，圆锥的底面半径为3，高为4，半球的半径为3. V＝V半球＋V圆锥＝·π·33＋·π·32·4＝30π. (2)VA－DED1＝VE