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第三章 导数与微分 导数的概念 两个引例 引例1.已知某物体做自由落体运动，其运动规律（即位移函数）为，.试讨论时刻落体的速度（）. 解：先取一邻近于的时刻，落体在这一段时间内的平均速度为 因为，在处连续，所以反映了落体在时刻的近似快慢程度，显然当越接近于时，这种近似精确度越高. 于是，定义 （1） 一般地，一质点做直线运动，设其位移函数为，若为某一确定的时刻，则称极限为质点在时刻的速度或变化率. 引例2.设有曲线，试求曲线上点处切线的斜率.假设 在处连续. 解：首先要明确一个概念：何谓曲线在处的切线？它应该定义为曲线在点处割线的极限位置，因此切线的斜率就应该是割线的斜率取极限.（作图） 在曲线上的附近任取一点Q，可作一条割线Q，设， 则 显然当Q越接近于点，这种近似计算的精确度越高.于是，令 （2） 注意：引例1与引例2的实际背景相差很大，但最后要求的量的数学结构却完全相同，将他们在数量关系上的共性抽象出来，就有下面的导数的概念。 二.导数的概念 1.定义1：设函数在内有定义，如果极限存在， 则称在处可导，称为函数的可导点，且称上述极限值为函数在处的导数，记为：或；或简记为． 2.导数的等价定义：如果记，则定义1可改为：设函数在 内有定义，如果极限 存在，则称在处可导，称为函数的可导点，且称上述极限值为函数在处的导数，记为：或；或简记为． 3.导数的另一种等价定义：设函数在内有定义，如果极限 存在，则称在处可导，称为函数的可导点，且称上述极限值为函数在处的导数，记为：或；或简记为． 注意：（1）导数定义的本质是变化率的极限，至于表现为何种极限形式，这没有 本质的区别，我们在使用时可根据需要选择其中的一种.但根据我的经验，定义1 在实际计算时用得教多；而第一种等价定义在理论证明时用得教多；最后一种等 价定义则很少用，只在一些考察导数概念的习题中偶尔出现. （2）如果不存在，则称函数在处不可导。 4.左、右导数的定义：若设函数在内有定义，如果极限存在，则称在处左可导，称为函数的左可导点，且称上述极限值为函数在处的左导数，记为；类似地可定义. .显然有 定理1.在处可导在处左可导且在处右可导。 5.导数的几何意义：曲线在点处切线的斜率；（请同学们 自己写出曲线在点处切线及法线的方程.） 导数的物理意义：做变速直线运动的物体的瞬时速度、加速度. 要特别关注处的导数定义形式：；若更特殊，还有，则。 已知曲线，试求在处的导数。 解：这里 因为 已知=A，试求下列极限的值 （1） （2）。 例3．研究函数在处的可导性. 解：因为，所以； 同理，可求得 由于，所以在处不可导。 注意：大家还记得在上一章，我们证明了在处是连续的,那函数在一点处连续与可导之间究竟有何联系？请看下面的 三．可导与连续间的关系 定理2.设函数在内有定义，则若在可导则必 在处连续；反之未必，即若在连续，在处未必可导. 证明：（必要性）设若在可导， 即存在， 则， 反之，可以例3为反例. 四.导函数 1.定义2.若函数在内每一点处都可导则称为在内可导的函数；若在内满足：（1）在内可导；（2）都存在，则称在上可导的函数。. 一般地，设在区间I上可导，对，则极限 存在，且它是区间I上关于的一个函数，称之为在区间I上的导函数，记为或简记为. 注意：（1）记号是莱布尼兹首先引用的，物理学中牛顿用记号表示； （2）是一个整体记号，不可理解为除以，但可把理解为对函数施行求导数运算 （3）导函数在处的值为： ，这正是以第一种等价定义形式定义的 函数在处的导数值. 上式揭示出导函数与函数在一点处的导数值之间的关系，在以后，我们就 很少单独某一个函数在具体点处的导数值，而试图算出常见函数的导函数的表达式，并把它背下来.当需要实际计算在具体点处的导数值时，只须将该点代入导函数的表达式。有同学可能会有疑问：常见函数非常多，如何能做到求出所有这些常见函数的导数，并且还会背？其实，我们只需要会求、会背基本初等函数的导函数，再结合为数不多的几个求导法则，即可顺利求出任何一个初等函数的导函数. （4）今后，在不至于引起混淆的情况下，也将导函数简称为导数.大家可以从记号上轻易看出到底要求的是导数还是导函数. 例4．，求； 例5．求； 注意：其实有,为实数） 练习：求. 例6．，求； 注意：特别地， 例7．，求； 注意：特别地. 例8．，求； 自做，求； 看这意思，我准备求出所有基本初等函数的导数表达式.不错！