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§4 旋转曲面的面积 (一) 教学目的：理解微元法的基本思想和方法，掌握旋转曲面的面积计算公式． (二) 教学内容：旋转曲面的面积计算公式． 基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式． (三) 教学建议： 要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积． ———————————————————— 一 微元法 用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量 是一个与某变量(设为x)的变化区间 有关的量，且关于区间 具有可加性. 我们就设想把 分成n个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐 ， 然后就寻求相应于这个小区间的部分量 的近似值（做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到 的形如 近似表达式（其中 为 上的一个连续函数在点x处的值， 为小区间的长度),那么就把 称为量 的元素并记做 ，即 以量 的元素作为被积表达式在 上进行积分，就得到所求量 的积分表达式： 例如求由两条曲线 (其中)及直线 所为成图形的面积A.容易看出面积元素于是得平面图形 的面积为 采用微元法应注意一下两点： 1）所求量 关于分布区间 具有代数可加性. 2） 对于前面所讲过的平面图形的面积、立体体积、曲线弧长相应的微元分别为： 二 旋转曲面的面积 §5 定积分在物理中的某些应用 (一) 教学目的：掌握定积分在物理中的应用的基本方法． (二) 教学内容：液体静压力；引力；功与平均功率． 基本要求： (1)要求学生掌握求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式． (2) 较高要求：要求学生运用微元法导出求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式． (三) 教学建议： 要求学生必须理解和会用求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式． —————————————————————————— 1 变力沿直线所作的功 从物理学知道，如果物体在做直线运动的过程中受到常力F作用，并且力F 的方向与物体运动的方向一致，那么，当物体移动了距离s时,力F 对物体所作的功是 如果物体在运动过程中所受到的力是变化的，那么就遇到变力对物体作功的问题，下面通过例1说明如何计算变力所作的功 例1 把一个带电量为 的点电荷放在 轴的原点 处，它产生一个电场，并对周围的电荷产生作用力，由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点 为 的地方，那么电场对它的作用力的大小为（ 是常数），如图，当这个单位正电荷在电场中从 处沿 轴移动到处时，计算电场力 对它所做得功. 解 ?在上述移动过程中，电场对这个单位正电荷的作用力是不断变化的，取 为积分变量，它的变化区间为 ，在 上任取一小区间 ，当单位正电荷从 移动到 时，电场力对它所作的功近似于，从而得功元素为 ? 于是所求的为 ? 例2 ?某水库的闸门形状为等腰梯形，它的两条底边各长10m和6m,高为20m,较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力。 解 ?如图3.9.2 以闸门的长底边的中点为原点且铅直向下作 轴,取 为积分变量，它的变化范围为 .在 上任取一个小区间 ,闸门上相应于该小区间的窄条各点处所受到水的压强近似于,这窄条的长度近似为,高度为 ,因而这一窄条的一侧所受的水压力近似为 这就是压力元素，于是所求的压力为 例3 设有一根长度为 、线密度为 的均匀细直棒，在其中垂线上距棒 单位处有一质量为 的质点。试计算该棒对质点 的引力 解 取坐标系如图3.9.3所示，使棒位于 轴上，质点 位于 轴上，棒的中点为原点 ，取 为积分变量，它的变化区间为 。在 上任取一小区间 ，把细直棒上相应于 的一段近似的看成质点，其质量为 ，与 相距 ，因此可以按照两质点间的引力计算公式求出这段细直棒对质点 的引力 的大小为 从而求出 在水平方向分力 的近似值，即细直棒对质点 的引力在水平方向分力的元素为 于是得到引力在水平方向的分力为 上式中的负号表示 指向 轴的负向，又由对称性知，引力在铅直方向分力为 ?平均值 内容概述：本节介绍函数的平均值求法 学习时数：2 学习目标：了解平均值的求法 学习要点：函数的算术平均值、函数的加权平均值、函数的均方平均值 学习基础：微积分基本定理 函数的算术平均值 在实际问题中，常常用一组数据的算术平均值来描述这组数据的概貌。例如，对某一零件的长度进行次 测量，测得的值为 。这时，可以用 的算术平均值 ??????? 作为这一零件的长度的