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新思维教育 八年级培优班讲义 第一讲 第十一章三角形（一） 与三角形有关的线段 【教学目标】 1.懂得用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形； 2.懂得三角形平分线与角平分线的区别，三角形的高与垂线的区别，钝角三角形高的画法，不同的三角形三条高的位置关系。 【知识归纳】 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形 叫做三角形. 　　如图中，线段AB、BC、CA是三角形的边；点A、B、C是三角形的项点．∠A、∠B、∠C是相邻两边所组成的角，叫做三角形的内角，简称为三角形的角． 三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作△ABC，读作“三角形ABC”． （2）三角形的分类≠ 　　三角形按边分： 　　 按角分 锐角三角形 三角形 直角三角形 钝角三角形 （3）三角形的三边的关系 　　①三角形的任意两边之和大于第三边， 　　②三角形的任意两边之差小于第三边． 　　即三角形的三边为a,b,c，则a+bc，b+ca，c+ab;a－b＜c，b－c＜a，c－a＜b 　　 【知识脉络】 【教学过程】 知识点一： 与三角形有关的线段 三角形的边的不等关系的应用和作用： 　　①判断三条线段a、b、c能否组成三角形，其判断方法有如下三种： 1.当a＋bc，b＋ca，c＋ab都成立，即三条边都小于其它两条边之和时，能组成三角形； 　　2.当|a－b|ca＋b时，即任意一条边大于其它两条边差的绝对值（即大边减小边），而小于其它两条边之和，可以构成三角形； 　　3.当a最长，且有b＋ca时，即最大边小于其它两条边之和时可以构成三角形． 　　②确定三角形第三边的取值范围： 　　两边之差的绝对值＜第三边＜两边之和 　　如果三角形已知两边分别为a、b，第三边为c，则|a－b|ca＋b 　　从而得到三角形的周长的取值范围，设ab，则2aa＋b＋c2(a＋b) ③说明线段的不等关系． 【例题精讲】 例1、已知：△ABC的周长是12cm，且三角形的三边是连续的整数，求三角形三条边的长． 分析：要求三角形的边长，由△ABC的周长是12，可建立方程来求解． 解答：设三角形三边的长分别为x，(x＋1)和(x＋2)，依题意可列方程： 　　x＋(x＋1)＋(x＋2)=12，解得x=3． 故三角形的三边长分别为3cm、4cm和5cm． 例2、有木条4根，长度分别是12cm，10cm，8cm，4cm，选其中三根组成三角形，能组成三角形的个数是（　 ） 　A．1　　　　　　B．2　　　　　　C．3　　　　　　D．4 分析：解决本题须分二步进行，首先把4根木条选三根分成四组，然后判断每组能否构成三角形． 解答：4根木条按三根为一组可分如下四组： 　　12cm，10cm和8cm；12cm，10cm和4cm； 　　10cm，8cm和4cm；12cm，8cm和4cm． 　　由三角形三边关系定理及推论知： 　　1210＋8，则12cm，10cm和8cm能构成三角形． 　　1210＋4，则12cm，10cm和4cm能构成三角形． 　　108＋4，则10cm，8cm和4cm能构成三角形． 答案：C 例3、已知：三角形两边的长分别为2cm和7cm，第三边长的数值是偶数，求这个三角形的周长． 分析：已知两边的长可判断第三边的取值范围． 解答： 　　设第三边的长为xcm，根据三角形的三边关系有：7－2x7＋2，即5x9． 　　∵x为偶数，∴x=6或8． 故三角形的周长为15cm或17cm． 例4、如图，P是△ABC内一点，试说明AB＋ACPB＋PC成立的理由． 分析：三角形三边关系可以用来说明线段之间的不等关系，但题目中涉及的线段不在同一个三角形中，所以需要添加辅助线，构造新的三角形．比较明显的辅助线可以作BP或CP的延长线． 解答：延长BP交AC于D， 　　　在△ABD中，AB＋ADBD， 　　　即AB＋ADBP＋PD． 　　　在△PCD中，PD＋CDPC． 　　　两式相加，得AB＋AD＋PD＋CD＞BP＋PD＋PC， 　　　∴AB＋AC＋PDPB＋PC＋PD， 　　　即AB＋ACPB＋PC． 【练习巩固】 一、选择题 1．已知三条线段的比是：①1：3：4；②1：