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点到直线的距离（第一课时） 学习目标 1、掌握点到直线的距离的概念，以及公式的推导过程； 2、掌握点到直线的距离公式及其应用，会求两平行直线间的距离。 重点难点 点到直线距离的公式及其简单应用 教学过程 A复习引入 点在直线上 B概念学习 1、点到直线的距离的概念：设在直线上的射影为，则垂线段即为点到直线的距离。 2、点到直线的距离公式 问题：已知直线和直线外一点， 求点到直线的距离。 解：（法一）， 联立， 求出交点即为垂足，再求出。——此法很繁 （法二）如图直线的一个法向量， 设垂足，则，而，则与的夹角为或， 因此或，即， 得， 而点在直线上，则，即， 所以。 （法三）如图，设为直线上任意点， 则可以看作在方向上的投影绝对值，设为与的夹角， 则，接下来类似法二。 说明：1）点到直线的距离。 其中点在直线，也符合上式子。 2）直线方程必须是一般式。 3）到直线的距离是点与直线上任意一点的距离的最小值。 C概念应用 例1：求点到直线的距离。 解：略 变式： 解：略 解：略 例2：已知，，，求的面积。 解：（法一）。 （法二），即，， 。 （法三），，，则，则。 例3：求两平行直线与之间的距离。 解：在上取点，则到的距离即为平行直线之间的距离。 推广：两平行直线与之间的距离。 在上取点，则到的距离。 说明：1）已知两平行直线与，直线上每一个点到直线的距离都相等，则把这个距离看作是两平行直线之间的距离：。 要求两平行直线都化成一般式，且系数相等。 2）两相交直线没有距离，两重合直线的距离为０没有研究的价值。 变式（1）求两平行直线与之间的距离。 解：先化，则。 变式（2）求与直线平行且距离为的直线方程。 解：设直线，则，则或（两解），后略。 例4：求过且与原点距离为的直线方程。 解：（法一）设直线的方程为，即， 而，化简得，取，则， 解得或，因此或， 则直线的方程为或。 （法二）当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 即，则，解得， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，原点到该直线的距离为符合题意， 因此直线的方程为或。 课堂小结 点到直线的距离的概念及公式 平行直线之间的距离 课后作业 练习部分 P11 A组/1，3，4，6 一课一练 P 27/ 1~5，7 点到直线的距离（第二课时） 学习目标 1、进一步巩固点到直线的距离公式 2、掌握有向距离的概念，并能运用之判断点的区域位置。 3、加强数形结合思想的运用 重点难点 点到直线距离公式的应用、有向距离的运用 教学过程 A复习引入 点到直线的距离公式 平行直线间距离公式 练习：课本 P25/ 1，2 B概念学习 如图直线的一个法向量， 设垂足，则，而， 若与的方向相同，因此， 得， 令，则； 若与的方向相反，因此， 得，则。 而当在直线上时，。 显然的符号决定了点关于直线的相对位置，称为有向距离（与区别）。 说明：1）在直线同侧的所有点，的符号是相同的； 在直线异侧的点，的符号是相反的。 2）。 C概念应用 例1：已知直线与两点，若直线与线段相交，求实数的取值范围。 解：，即，即，所以或。 变式：若直线与线段不相交呢？ 解：，即。 说明：1）有向距离的应用局限于区域解。 2）此题也可以图解（在直线与倾斜角一节课中已讲）。 例2：直线过点，且它被两直线、所截得的线段长为，求直线的方程。 解：且距离，设与的夹角为， 则，则， 设的一个法向量， 所以，取，解得或， 则直线的方程为或。 说明：此题有两解。 例3：直线过两直线与的交点，且与点、的距离相等，求直线的方程。 解：联立的交点， （法一）当的斜率存在时，设的方程为即， 由，解得， 当的斜率不存在时，的方程为，则、的距离均为， 因此所求的的方程为或。 （法二）由图可知，直线或过的中点。 当，则，则的方程为； 当过的中点得，则，则的方程为。 由可知所求的的方程为或。 变式（1）求直线的方程，使、的到的距离都为。 解：当，即，可设的方程为， 则，解得； 当过的中点， 当的斜率存在时，可设的方程为，即， 则，解得； 当的斜率不存在时，可知的方程为，则、的距离均为 由可知所求的的方程为或。 变式（2）若使、的到的距离都为，判断满足条件的直线数。 解：，如图 当，这样的直线只有两条（两条）； 当，这样的直线只有两条（两条，过的中点一条）； 当，这样的直线只有两条（两条，过的中点两条）。 课堂小结 课后作业 练习部分 P11 A组/2，7 B组/1，4 一课一练 P 28/ 6 P30/ 1~8 y x O P